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2023备战中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题含详细答案
一、锐角三角函数
1.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.
试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
2.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架和(均与水平面垂直),再将集热板安装在上.为使集热板吸热率更高,公司规定:与水平面夹角为,且在水平线上的射影为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为,并已知,.如果安装工人确定支架高为,求支架的高(结果精确到)?
【答案】
【解析】
过作于,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,又可证四边形为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可.
3.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=,
∴BE=CE?cot30°=12×=12,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=12.
∴CD=CE+DE=12(+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
4.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O于点E.
(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)
【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.
【解析】
试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD?AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC?3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC?(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==.
考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:B
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