2023-2024备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶锐角三角函数附答案解析.docVIP

2023备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶锐角三角函数附答案解析 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好，,．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到．参考数据：.） 【答案】AB的长约为． 【解析】 【分析】 作于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可． 【详解】 解：作于F， 在中，， ， 在E中，， 由勾股定理得，， 答：AB的长约为． 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】 4 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∴∠COP＝∠COD＝30°， ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝5（分米）， ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝OA＝5（分米）， ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋5． ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝2（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）， ∴BE＝10?2?2＝（8?2）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝＝2， ∴B′E′＝10?（2?2）＝12?2， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋5，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为. 【解析】 【分析】 （1）连接，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明，得，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 4．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 ?BAC 的平分线