Borittq高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和.docVIP

Borittq高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和 七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。 -----啸之记。 等比数列的前n项和·例题解析 ? 【例1】 设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q． 解 由Sn=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴an=aqn-1=54 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④ 将③代入①化简得a=q－1 　　　　　　　　　　　⑤ 分析 设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解 设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明 运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的． 【例4】 选择题：在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，有Sn=2n [ ] 解 D． ∵a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1 ∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1 【例5】 设0＜V＜1，m为正整数，求证： (2m＋1)Vm(1－V)＜1－V2m+1 分析 直接作，不好下手．变形： 右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有： (2m＋1)Vm＜1＋V＋V2＋…＋V2m 发现左边有(2m＋1)个Vm，右边有(2m＋1)项，变形：Vm＋Vm＋…＋Vm＜1＋V＋V2＋…＋V2m． 显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较．鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较： Vm＋Vm＜1＋V2m，Vm＋Vm＜V＋V2m-1，…，Vm＋Vm＜Vm-1＋Vm+1，Vm=Vm． 即2Vm＜1＋V2m，2Vm＜V＋V2m-1，…． 根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立． (具体证法从略)． 说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”： C，B＜D，等等．善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练． 【例6】 数列{an}是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n． 解法一 利用等比数列的前n项和公式 若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1 =Sn(1＋qn＋q2n) 解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S3n－60) ∴ S3n=63． 解法三 取特殊值法 取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60 ∴ a2=12 ∵ {an}为等比数列 S3n=S3=a1＋a2＋a3=63 【例7】 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1 (1)设bn=an+1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列； 解 (1)∵ Sn+1=4an＋2 Sn+2=4an+1＋2 两式相减，得 Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*) 即：an+2=4an+1－4an 变形，得an+2－2an+1=2(an+1－2an) ∵ bn=an+1－2an(n∈N*) ∴ bn+1=2bn 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列． 由S2=a1＋a2=4a1＋2，a1=1 可得a2=5，b1=a2－2a1=3 ∴ bn=3·2n-1 将bn=3·2n-1代入，得 说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决