【中考数学】二次函数-等腰三角形存在性问题-5.27.pdf

二次函数—存在性问题—等腰三角形 1.二次函数及等腰三角形定义 二次函数：一般地，形如y ax 2 bx c (a,b,c为常数;a  0)这样的函数，叫做二次函数。 等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 2.等腰三角形存在性问题方法总结 等腰三角形的存在性解决方法：①几何三步法：先分类，再画图，后计算；②代数三步法：先罗 列三边，再分类方程，后解方程，检验 常见题型： A 、B 固定，找点 C ，使得△AB C 是等腰三角形，点 C在两圆直线上 A B 做题步骤： 1）设P 点坐标：t ，用 t 表示，写出t 的取值范围； （ （2）求线段长度：根据亮点之间距离公式，求出AB2 AP2 2 ； ， ，BP （3）分类讨论，列出方程： 以点A 为顶点：AB 2 AP 2 ；以点B 为顶点：BA2 BP 2 ；以点 C 为顶点：PA 2 PB 2 3.经典例题 1 2 1 1．如图，抛物线y - x  x c 与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为 （3，0），与y 轴交 3 3 于点 C，连接A C，B C ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P 的横坐标为a ，过点 P 作x 轴的垂线，交A C 于点 Q ． （1）求A ，C 两点的坐标． （2）请用含 a 的代数式表示线段PQ 的长，并求出a 为何值时PQ 取得最大值． 3）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q ，使得以B ，C，Q 为顶点的三角形是 （ 等腰三角形？若存在，请写出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 2 1 1 解： （1）把点B 的坐标 （3，0）代入抛物线解析式得y - ，即 9 1 c 0 x  x c    3 3 3 解得：c ＝4， 1 2 1 令y ＝0，则- x  x  4 0， 3 3 解得x 1 ＝3，x2 ＝﹣4， 0，4）； 4，0），C （ A （﹣ ∴ 4 （ 2）PQ 有最大值 ； 3 2 （3）存在，理由： 点A 、B 、C 的坐标分别为 （﹣4，0）、 （3，0）、 （0，4）， 则B C ＝5，AB ＝7，A C ＝4 2 ，∠OA C ＝∠OCA ＝45°， 将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx+n 并解得， 4 直线B C 的解析式为y - x  4y ， ∴ 3 设B C 的中点为H ，由中点坐标公式可得H ， 3 7 ∴过B C 的中点H 且与直线B C 垂直直线的表达式为：y x  ，