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《基本不等式》教案
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《基本不等式》教学设计
教材:人教版高中数学必修 5第三章
一、教学目标
1.通过两个探究实例,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式的几何背景,
体会数形结合的思想;
2.进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加
深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力;
3.结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想;
4.借助例 1尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不
等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用,提升解决问题的能力,体会
方法与策略.
以上教学目标结合了教学实际,将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个
教学环节.
二、教学重点和难点
重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程;
难点:在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式.
三、教学过程:
1.动手操作,几何引入
如图是 2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦
图”设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明,体现了以形证数、形数统一、代数
和几何是紧密结合、互不可分的.
探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗?
在 正 方 形 中 有 4 个 全 等 的 直 角 三 角 形 . 设 直 角 三 角 形 两 条
直角边长为 ,
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那么正方形的边长为 .于是,
4个直角三角形的面积之和 ,
正方形的面积 .
由图可知 ,即 .
探究二:先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个三角形拼接构
造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别
为 和 ( ),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?
通过学生动手操作,探索发现:
2.代数证明,得出结论
根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论:
若 ,则 .
若 ,则 .
学生探讨等号取到情况,教师演示几何画板,通过展示图形动画,使学生直观感受不等关系中的相
等条件,从而进一步完善不等式结论:
(1)若 ,则 ;(2)若 ,则
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.
证法一(作差法):
,当 时取等号.
(在该过程中,可发现 的取值可以是全体实数)
证法二(分析法):由于 ,于是
要证明 ,
只要证明 ,
即证 ,
即 ,该式显然成立,所以 ,当 时取等号.
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得出结论,展示课题内容
基本不等式:
若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)
若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)
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