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中考数学复习线段和差最值系列之费马点
皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.
言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点.
问题:在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.
【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.以上依据似乎都用不上,怎么办?
若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,则PA+PB+PC值最小,P点称为该三角形的费马点.
一、如何作费马点
问题要从初一学到的全等说起:
(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.
(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.
(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)
(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
在图三的模型里有结论:(1)∠BPD=60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是∠BAC120°,若 ,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:
此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗?显然这时候就不是了,显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和.所以,是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A点!当然这种情况不会考的,就不多说了.
二、为什么是这个点
为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,PA+PB+PC值就会最小呢?
归根结底,还是要重组这里3条线段:PA、PB、PC的位置,而重组的方法是构造旋转!
在上图3中,如下有△ADC≌△ABE,可得:CD=BE.
类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF=BE=CD.巧的,它们仨的长度居然一样长!
更巧的是,其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值!
接下来才是真正的证明:
考虑到∠APB=120°,∴∠APE=60°,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQ=AP,则△APQ是等边三角形.
△APQ、△ACE均为等边三角形,且共顶点A,故△APC≌△AQE,PC=QE.
以上两步分别转化PA=PQ,PC=QE,故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE.
没有对比就没有差别,我们换个P点位置,如下右图,同样可以构造等边△APQ,同样有△APC≌△AQE,转化PA=PQ,PC=QE,
显然,PA+PB+PC=PB+PQ+QEBE.
还剩下第3个问题!如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!
【中考再现】问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=,点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______.
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!
如图,以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点,
根据∠NMG=75°,∠GMH=60°,可得∠HMQ=45°,∴△MHQ是等腰直角三角形,
∴MQ=HQ=4,∴NH=.
练习题
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=15,现在要找两点E、F,则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________
如图,等腰RtABC中,AB=4,P为ABC内部一点,则PA+PB+PC的最小值为_______
如图,ABC中,AB=4,BC=3,ABC=75°,P为ABC内的一个动点,连接PA、PB、PC,则PA+PB+PC的最小值为________
如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为______
在RtABC中,ACB=90°,AC=1,BC=,点O为R
小编数学专业背景,从事教育教学十年余,对中学数学有深入的研究,对学生的学习过程有科学的认识,擅长处理各类学生学习中出现的问题. 本人提供高端的网络一对一服务,从了解学生学情——制定学习计划——学习效果验证——调整学习计划.提升成绩,应对中考、高考的复习.
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