中考复习之线段和差最值问题之对称.docx

中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称 对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA，所以PA+PB=PA+PB 当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 2.二次对称问题 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP’’，当P、M、N、P共线时，△PMN周长最小． 3.过河修桥问题 已知人在图中点A村庄，现要过河去往B村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求AN+NB最小值，显然，当A、N、B共线时，AM+MN+BN的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】 已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． AP平移至AQ，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为AQ+QM+MB． 当A、Q、M、B’共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定P、N位置． 【问题扩展1】 如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=AN，将AM+BN转化为AN+NB． 构造点A关于MN的对称点A，连接AB，可依次确定N、M位置，可得路线． 练习题 1.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． 3.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　　 A． B．， C．， D． 4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 5.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 8.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　 A． B．2 C． D．4 9.如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是　　 A．6 B． C． D．4.5 10.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是