中考平面几何专题之半角模型.docx

半角模型 半角模型在中考数学试题中，属于非常火的几何模型，相关的题目以选择题、填空题为主，以多选项问题为主流，相关的结论也有诸多变化.与半角模型相关的结论较多，要在考场上有限的时间内判断4-5个结论，明显对多数同学有相当的困难.提前熟悉半角模型及相关结论的证明，对解决此类问题有巨大的帮助. 问题背景 如图，在ABC中，∠BAC=45°，BD=2，CD=3，求AD的长. 方法一：构造相似 在CB延长线上取一点G，使DG=DA，则△CAB~△CGA，设AD=x,则GC=x+2,AG=x,AC=于是,x=6,故AD=6另法：在BC的延长线上取一点，构造相似 方法二：构相似 在AD上取点N、M，使DN=DB,DM=DC，∠BAD+∠ABN=45°，∠BAD+∠CAD=45°故∠ABN=∠CAD，得△ABN~△CAM设AD=x,则AN=x-2,AM=x-3，，,x=6，AD=6 方法三：构全等 过点B作BE⊥AB交AC延长线于点E，作EF⊥BF则△ABD?△BEF则BF=AD，EF=BD设CF=x,则AD=x+5,又△ACD~△ECF故，得x=6,故AD=6 方法四：（高中）正切和差公式 ，，,x=6,故AD=6 方法五：翻折构45°半角模型 将△ABD和△ACD分别沿AB、AC翻折则∠EAF=90°，分别延长EB、FC交于点G则AEGF为正方形，设AD=x,则BG=x-2,CG=x-3,(x-2)2+(x-3)2=52,x=6，AD=6 后面接着深入探究此模型及结论 半角模型相关的系列结论： 结论一系列：①BE+DF=EF②△ADF?△ABG③△AEF?△AEG④∠AEG=∠AEF⑤∠AFD=∠AGB=∠AFE 简证：在CB延长线上取一点G，使BG=DF又AD=AB，∠ABG=∠ADF，故△ADF?△ABG同时∠1=∠3，∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°AF=AG，AE=AE，故△AEF?△AEG于是结论4，5可同步得出 结论二系列：1.△BEN~△AMN~△DMF~△AEF 简证：∠EBN=∠MAN=∠MDF=45°∠BEN=∠AEF，∠MFD=∠AFE 结论三系列： ①△ADM~△ACE②△ABN~△ACF③④⑤ 简证：∠DAF+∠FAC=45°∠FAC+∠EAC=45°得∠DAF=∠EAC而∠ACM=∠ACE 结论四系列：连接ME、NF①△ABN~△MEN②△ADM~△NFM③AM⊥EM，AN⊥FN④AM=ME，AN=NF⑤△AEM、△ANF为等腰直角三角形 简证：由系列二△BEN~△AMN可知→，又∠ANB=∠MNE 故△ABN~△MEN，结论2证法类似；∠MEN=∠ABN=45°=∠EAM，故△AME为等腰直角三角形，AM=ME 结论系列五：1.MN2=BN2+DM2 结论系列六：∠MAN=∠B=45°，∠AMN=∠AMN故△AMN~△BMA，同理可得△AMN~△DAN 得△AMN~△BMA~△DAN推广半角模型：同理可得△ABC~△NBA~△MCA 结论系列七：共圆①A、B、E、M四点共圆②A、N、F、D四点共圆③C、E、N、M、F五点共圆 结论系列八：①AE平分∠BEF，AF平分∠DFE②点A为△EFC的旁心③AM-MD=BE④AD+DF=DN⑤|BE-DF|=|BN-DM|上述结论均可由结论系列证出， 练习题 1．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（　　） A．4 B．5 C．10 D．5 2．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，且BE＝CF＝2，连接DE、AF交于点O，过点F作AF的垂线段FG，连接CG使得∠GCF＝135°，连接AG交DE于点M，则△GFM的面积为（　　） A．24 B．25 C． D．26 3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3.4 C． D． 4.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，在正方形ABCD中，M为边BC上的一点，MN⊥BC交BD于点N，连接AM交BD于点E，F为DN中点，连接AF．有下列说法：①BN=BM；②∠BAF＝∠AEF；③BE2+DF2＝EF2；④AB﹣MN＝DF．其中正确的说法有（