数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案).docVIP

第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分 一、第二型曲线积分的定义 引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L从点A移动到点B，求力F(x,y)所作的功. 在曲线 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)) 内插入n-1个分点M1, M2, …, Mn-1， 与A=M0, B=Mn一起把有向曲线 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)) 分成 n个有向小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) (i=1,2,…,n). 若记小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 的弧长为△si，则分割T的细度为=. 设力F(x,y)在x轴和y轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 在x轴与y轴上的投影分别为 △xi=xi-xi-1与△yi=yi-yi-1，(xi,yi)与(xi-1,yi-1)分别为分点Mi与Mi-1的坐标. 记=(△xi,△yi)，于是力F(x,y)在小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 上所作的功为 Wi≈F(ξi,ηi)·=P(ξi,ηi)△xi+Q(ξi,ηi)△yi，其中(ξi,ηi)是 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 上任一点. 因而力F(x,y)沿曲线 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)) 所作的功近似地等于 W=≈+. 定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L： eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)) 上. 对L的任一分割T把L分成n个小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) (i=1,2,…,n), A=M0, B=Mn. 记各小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 的弧长为△si，分割T的细度为=. 又设T的分点Mi的坐标为(xi,yi)，并记△xi=xi-xi-1,△yi=yi-yi-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(Mi-1Mi)) 上任取一点(ξi,ηi)，若存在极限 +且与分割T与点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L上的第二型曲线积分， 记作：+Q(x,y)dy或+Q(x,y)dy，也可简写为 +Qdy或+Qdy，若L为封闭的有向曲线，则记为+Qdy. 若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：或. 若L为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分，并记为： +Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz或+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz， 也可简写为+Qdy+Rdz或+Qdy+Rdz. 当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式或. 注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A到B改变由B到A时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△xi,△yi也随之变号，故有+Qdy= -+Qdy. 性质：1、若+Qidy存在，ci(i=1,2,…,k)为常数，则 +也存在，且 +=. 2、若有向曲线L是由有向曲线L1,L2,…,Lk首尾相接而成，且 +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则+Qdy也存在，且 +Qdy =+Qdy. 二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:, t∈[α,β]，其中 φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A与B的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L上的连续函数，则 沿L从A到B的第二型曲线积分 +Q(x,y)dy=. 注：1、对沿封闭曲线L的第二型曲线积分的计算，可在L上任取一点作为起点，沿L所指定的方向前进，最后回到这一点. 2、设空间有向光滑曲线L的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则= . 例1：计算+(y-x)dy，其中L分别沿如图中路线： (1)直线AB； (2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界). 解：(1)方法一：L:, t∈[0,1]， ∴+(y-x)dy==. 方法二：