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青海省西宁市2022~2023学年高二上学期12月月考数学试题
高二数学
一、单选题:本题12小题,共60分。
1.函数在区间上的平均变化率是(????)
A. B. C. D.
2.向一个半球形的水池注水时,向池子注水速度不变(即单位时间内注入水量相同),若池子中水的高度是关于时间的函数,则函数的图象可能是(????)
B.
C. D.
3.已知函数,且,则实数的值为(????)
A. B. C.2 D.
4.下列函数求导运算正确的个数为(???????)
①;②;③;④.
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知函数,则
A. B. C. D.
6.已知,则(????)
A. B. C. D.
7.曲线 在点 处的切线方程为(????)
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0
8.已知函数,则是的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9.在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为,其中,已知,为的前项和,若恒成立,则的最小值为(????)
A.16 B.32 C.64 D.128
10.已知函数,且,则(???)
A.0 B.1 C.2 D.4
11.函数的定义域为(????)
A. B. C. D.
12.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
二、填空题:本题5小题,共20分。
13.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______.
14.已知函数的导函数为,且,则______.
15.已知函数,则______.
16.函数()在处有极值,则曲线在原点处的切线方程是__________.
三、解答题:本题6小题,共70分。
17.求下列函数的导数:
(1);????????
(2).
18.设函数,已知,且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)判断函数在区间上的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求m的取值范围.
19.已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)判断函数的极值点个数,并说明理由.
20.已知函数在和时都取得极值.
(1)求、的值;
(2)若函数在区间上不是单调函数,其中,求的取值范围.
21.已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的图象是的图象的切线,求的最大值.
22.已知曲线.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)求曲线过点的切线方程.
参考答案
1.A
根据平均变化率的定义计算.
由题意平均变化率为.
故选:A.
2.B
根据几何体的形状,判断水面高度随时间升高的快慢,判断可得出合适的选项.
几何体为半球形,上面宽下面窄,相同的时间内注水量相同,所以高度增加得越来越慢,
即图象越来越平缓,
故选:B.
3.C
根据函数在某一点处的导数的定义,可得结果.
由,即
因为,所以
则,所以
故选:C
本题考查函数在某点处的导数求参数,属基础题.
4.A
根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断.
解:①,故错误;②,故正确;
③,故错误;④,故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选:A.
5.B
,故选.
6.B
根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.
.
故选:B.
7.C
根据导数的几何意义,先求出函数在的导数值f′(0)=1,即是该点处切线的斜率,利用点斜式即可得出切线方程.
∵f(x)=x2+x+1,
∴f′(x)=2x+1,
∴根据导数的几何意义可得曲线f(x)=x2+x+1在(0,1)处的切线的斜率为f′(0)=1
∴曲线f(x)=x2+x+1在(0,1)处的切线方程为y﹣1=f′(0)(x﹣0)即x﹣y+1=0.
故选:C.
本题考查了导数的几何意义,考查了直线方程,属于基础题.
8.C
对函数进行求导,可得出函数的单调性,再得出函数的奇偶性,利用充分必要条件的定义判断可得选项.
由题意可得:恒成立,所以函数在上递增,
又,所以函数是奇函数,
当 时,即,所以,即;
当时,即,所以,即,
所以“”是“”的充要条件.
故选:C.
9.D
根据导数的几何意义求出切线方程,即可得到与的关系,从而判断出是以为公比的等比数列,再根据等比数列前项和公式求出,得到的范围,即可求出.
因为,,,所以切线:
令,,∴,,则,有.
∴是以为公比的等比数列,,而,.∴恒成立,即的最小值为128.
故选:D.
10.C
对函数求导,然后代入,即可解出参数.
因为,
所以,
所以,
又,
所以,
故选:C.
11.A
根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于的不等式组,解出即可得出函数的定义域.
由题意可得,解得,
因此,函数的定义域为.
故选A.
本题考查函数定义域的求解,解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则
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