用反证法证明几何问题.pdfVIP

65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它 不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立， 它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的 能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念： （又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引 出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一 个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目 中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛 盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 三、反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命 题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方 面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 归缪法 穷举法 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说 “正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例 1．已知：AB、CD 是⊙O 内非直径的两弦（如图 1），求证 AB 与 CD 不能互相平分。 （1） 证明：假设 AB 与 CD 互相平分于点 M、则由已知条件 AB、CD 均非⊙O 直径， 可判定 M 不是圆心 O，连结 OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M 是 AB 中点 ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得：OM⊥CD，从而过点M 有两条直线 AB、CD 都垂直于 OM 这与已知的定理相矛盾。故 AB 与 CD 不能互相平分。 例 2 （穷举法） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 假设 如图，在△ABC， ABC=d,M 是 AB 的中点。 A D 求证 CM=AM=BM 证明：CM 与 AM 的大小关系有穷举而互斥的三种：CMAM ,CMAM ,CM=AM M 1°如CMAM，则 CMBM.于是，由△ACM 和△BCM 得 A ACM, B BCM 相加的 A + B C,即 2d- C C,或 Cd,与假设矛盾. C B 2° 若 CMAM,则 CMBM.仿上推出 Cd,也与假设矛盾. 结论反面的这两款都不成立，所以结论成立； CM=AB.证毕 例 3、已知：在四边形ABCD 中，M、N 分别是 AB、DC 的中点，且MN＝ （AD＋BC）。求证：AD∥BC 证明：假设 AD BC，连结ABD，并设 P 是 BD 的中点，再连结MP、PN。 在△ABD 中 ∵BM＝MA，BP＝PD ∴MP AD，同理可证 PN BC 从而 MP＋PN＝ （AD＋BC） ① 这时，BD 的中点不在MN 上