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2022数学课程标准解读与思考:发展推理意识的三个基本途径
会用数学的思维思考现实世界,是数学核心素养的重要内容,推理是数学思维的重要方式,包括合情推理和演绎推理,合情推理是指从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳或类比推断结果的思维方式,一般包括归纳推理和类比推理。演绎推理是指从已有的事实和确定的命题出发,通过规则推断结果的思维方式。合情推理的结果不一定正确,但是常常会创新,演绎推理的结果一定正确,但是不会创新。因此,在数学发展过程中,常常通过合情推理获得猜想,再通过演绎推理证明结论,二者相辅相成,在数学学习的过程和数学思维的发展中具有不可替代的重要作用。
形成推理意识是学会思考的主要表现,推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯,增强交流能力,是形成推理能力的经验基础。推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟,推理意识的形成,主要体现在以下四个方面:一是能够通过简单的归纳或类比,猜想或发现一些初步的结论;二是知道可以从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题或结论;三是通过法则运用,体验数学从一般到特殊的论证过程;四是对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。
下面,从“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个学习领域,讨论发展学生推理意识的三个基本途径。
一、在数与代数的学习中发展推理意识
在数的认识中,蕴含类比推理的素材,教学时,我们可以通过回顾已有的知识,引导学生凭借经验和直觉,对未知的知识进行大胆的推断,获得一些初步的猜想,发展学生的推理意识。比如,在整数的认识中,我们根据整数的位数个数,可以把整数分为一位数、两位数、三位数等,这是学生已有的知识和经验。在小数的认识中,我们可以引导学生观察小数的特点,凭借经验和直觉,通过类比推理的方式,根据小数部分的位数个数,把小数分为一位小数、两位小数、三位小数等。在此基础上,还可以引导学生通过类比推理提出新的问题——分数是不是也可以分为一位分数、两位分数、三位分数?这样,数学概念课的教学就凸显发展学生的推理意识。
在数的运算中,蕴含丰富的推理素材,不仅有合情推理,还有演绎推理。一般地,竖式体现的是算法,算法常常蕴含合情推理,横式体现的是算理,算理常常蕴含演绎推理。因此,我们应该从推理的角度,重新认识四则运算中算法和算理的问题,既要重视竖式,也要重视横式,它们同等重要。教学时,引导学生通过合情推理掌握算法,通过演绎推理理解算理。比如,三位数乘两位数(158×23),我们可以引导学生回顾两位数乘两位数,凭借经验和直觉,通过类比推理推断三位数乘两位数的算法,利用乘法的意义,通过演绎推理述说三位数乘两位数的算理。
二、在图形与几何的学习中发展推理意识
在图形的认识中,蕴含归纳推理和类比推理的素材。教学时,我们可以引导学生在认真观察图形的基础上,经历从个别到一般的思考过程,凭借观察所获得的经验和直觉,通过归纳的方式获得图形的特征,发展学生的推理意识。比如,在长方形的认识中,我们可以在方格纸中画出三个大小不同的长方形,引导学生从“数量”的角度,初步观察这三个长方形的顶点、边和角的特点,通过归纳推理的方式得出结论:长方形都有四个顶点、四条边和四个角。再引导学生从“长度”的角度,借助数格子,通过归纳推理的方式发现结论:长方形对边相等。最后引导学生从“位置关系”的角度观察,借助方格纸,通过归纳推理的方式发现结论:长方形对边互相平行、邻边互相垂直。在平行四边形的认识中,我们可以引导学生通过类比推理的方式得出初步的猜想,再举例进行验证,从而发展学生的推理意识。
在图形的度量中,蕴含丰富的推理素材,长方形的面积公式推导过程蕴涵归纳推理,正方形的面积公式推导是从一般到特殊的推导过程,这里蕴含演绎推理。在此基础上,平行四边形、三角形、梯形和圆面积公式的推导过程都蕴含着演绎推理。在长方形体体积公式的学习中,可以通过与长方形面积公式的推导过程进行比较,通过类比推理获得猜想,通过归纳推理得出结论,圆柱、圆锥体积公式可以通过演绎推理得出结论。因此,在图形的度量中,我们要从推理意识的角度重新认识这些内容的教学价值。
三、在统计与概率的学习中发展推理意识
在统计的知识中,主要学习统计图和统计量,统计图主要包括条形统计图、折线统计图和扇形统计图,统计量主要包括平均数和百分数。我们通常通过统计图直观表达数据所蕴含的变化规律,通过统计量定量描述一组数据的整体水平。统计图和统计量都蕴含着推理的重要素材,因此,在统计图的教学中,我们可以引导学生整体观察,通过归纳推理的方式,发现数据所蕴含的变化规律,通过类比推理的方式,对数据的变化趋势进行预测,发展学生的推理意识。在统计量的教学中,我们可以引导学生借助统计量,通过演绎推理的方式,对事物的整体水平进行判断,再通过类比推理的方式,对事物的变化趋势进行预测,发展学生的推
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