2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算.pptx

1.1　空间向量及其运算1 | 空间向量的概念及几类特殊向量知识点必备知识 清单破名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模单位向量模为1的向量 零向量长度为0的向量 相等向量长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线(平行)向量方向向量在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量共面向量平行于同一个平面的向量,叫做共面向量 2 | 空间向量的线性运算知识点空间向量的线性运算加法三角形法则:a+b=?+?=?;平行四边形法则:a+b=?+?=??减法a-b=?-?=?数乘运算当λ0时,λa=λ?=?(与a同向)?当λ0时,λa=λ?=?(与a反向)当λ=0时,λa=0 运算律(λ,μ∈R)交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a分配律(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb {}{}3 | 空间向量共线、共面的有关定理知识点内容共线向量定理共面向量定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb向量p与不共线的两个空间向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 4 | 空间向量的数量积知识点数量积a·b=|a||b|cosa,b,其中a,b为两个非零向量a,b的夹角运算律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)性质和应用若a,b为非零向量,则 a⊥b?a·b=0a·a=|a||a|cosa,a=|a|2,即|a|=?cosa,b=?,a,b的范围为[0,π] 误区警示????(1)两个向量数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)两个向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c?/b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 知识辨析1.在空间中,将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点后,它们的终点形成的轨迹是什么图形?2.如果向量?与?的夹角为α,那么直线AB与CD所成的角是α吗?3.如果?∥平面CDE,则直线MN∥平面CDE吗? 一语破的1.球面.因为单位向量的模均等于1,所以将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点后,它们的终点形成的轨迹是一个球面.2.不一定.当α∈?时,直线AB与CD所成的角为α;当α∈?时,直线AB与CD所成的角为α的补角.3.不一定.当直线MN?平面CDE时,才能通过?∥平面CDE得到直线MN∥平面CDE. 1 | 空间向量共线、共面的结论和应用定点关键能力 定点破1.空间向量共线、共面的结论(1)证明空间三点A,B,P共线:①?=λ?;②?=?+λ?;③?=x?+y?,其中x+y=1.(O为空间不与A,B,P重合的任一点)(2)证明空间四点A,B,P,M共面:①?=x?+y?;②?=?+x?+y?;③?=x?+y?+z?,其中x+y+z=1;④?∥?(或?∥?或?∥?).(O为空间不与A,B,P,M重合的任一点) 2.空间向量共线、共面的应用　　共线向量定理除了可以证明三点共线,还可以证明空间中两直线平行.由于空间中两个非零向量共线时,这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,所以在证明时要说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出线线平行.共面向量定理除了可以证明四点共面,还可以证明线面平行,同理,也要说明线不在面内. 如图,四边形ABCD、四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=?BD,AN=?AE.求证:向量?,?,?共面.? 典例证明　连接DN.由题图知,?=?-?=?+?(?+?)-??=??+??-?(?+?)=??-??=??+??,又?与?不共线,所以向量?,?,?共面. 2 | 利用数量积求长度(距离或模)定点?　　求解线段的长度、两点间的距离时,均可将其转化为求对应有向线段表示的向量的模,将此向量表示为已知的几个向量的和或差的形式,分析已知向量两两之间的夹角以及它们的模,然后利用公式|a|=?(推广公式:|a±b|=?=?)求解即可. 已知线段AB在平面α内,线段AC、BD在α同侧,且AC⊥α,BD⊥AB,BD与α所成的角是30°,AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离.典例 解析　由AC⊥α,线段AB在平面α内,知AC⊥AB.如图,过点D作DD⊥α于点D,连接BD,则∠DBD=30°,?,?=120°,?所以|?|2=