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线性方程组解的结构
我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况,现在进一步研究它的解的结构。
一、 齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组的矩阵形式为 AX=0 (1)
其中 A ? ( a )
? x
?
?, X ? ? x
?
?
?1 ?
?
2 ? 。
ij m ? n
? ? ?
x??? ?
x
?
?
n
齐次线性方程组(1)的解有下列性质:
如果 X , X
1
是齐次线性方程组(1)的两个解,则 X
2 1
X 也是它的解。
2
证:因为 X , X
1
是齐次线性方程组(1)的两个解,因此有:
2
AX ? 0 , AX ? 0
1 2
得: A ( X
1
X ) ? AX
2 1
AX
2
? 0 ? 0 ? 0
所以 X
1
X 也是齐次线性方程组(1)的解。
2
如果 X
是齐次线性方程组(1)的解,则C ? X
0
也是它的解。( C 是常数)
0
证:已知 X
是齐次线性方程组(1)的解,所以有 AX ? 0
0 0
从而 A (CX
) ? C ( AX
0
) ? C ? 0 ? 0
0
即C ? X
也是齐次线性方程组(1)的解。
0
由性质(1),(2)可得:
?如果 X , X , , X 都是齐次线性方程组(1) 的解, 则其线性组合
?
1 2 s
? ?C X ? C X ? ? C X 也是它的解。其中C , C , ,
? ?
1 1 2 2 s s 1 2 s
当一个齐次线性方程组有非零解,即它有无穷多解,这无穷多解构成了一个向量组(称为解向量组)。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组,那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。
定义 1:如果? 1 , ? 2 , ? , ? s 是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性
?无关组,则称? , ? , , ? 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系。
?
1 2 s
定理 1:如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵 A 的秩r ( A ) ? r ? n ,则齐次线性方程组的基础解系一定存在,且每个基础解系中恰恰含有 n ? r 个解。
证:因为 r ( A ) ? r ? n ,所以齐次线性方程组有无穷多解,且齐次线性方程组的
一般解为:
? x ? ? K
? 1
1 r ?1
x
r ?1
K
1 r ? 2
x
r ? 2
? K x
?1 n n
?
? x ? ? K
? 2
2 r ?1
x
r ?1
K
2 r ? 2
x
r ? 2
? ? ? K
x
2 n n
(1)
?
?? x
?
r
? ? K
rr ?1
x
r ?1
? ?
K
rr ? 2
x
r ? 2
? K x
?rn n
?
? 1 ? ? 0 ? ? 0 ?
? ? ? ? ? ?
其中 x , x
r ?1
, , x
?r ? 2 n
?
为自由未知量。对 n-r 个自由未知量分别取? 0 ? ? 1 ? ? 0 ?
, ,? ,? ? ? ? ? ? ?
, ,? ,
代入(1)可得齐次线性方程组的 n-r 个解:
? ? ? ? ? ?
0 0 1? ? ? ? ?
0 0 1
? ? ? ? ? ?
? ? K
?
? ? K
?
1 r ?1 ?
?
? ? K
?
? ? K
?
1 r ? 2 ?
?
? ? K ?
? 1 n ?
? ? K ?
? 2 r ?1 ?
? ? ?
? 2 r ? 2 ?
? ? ?
? 2 n ?
?? ?
?
?? ? ? ? K
?
?1
?
1
?
2
?
0
?
n ? r
?
0 ?
?
0
?
?
1
?
?
0 ?
?
?
rr ?1 ?,
?
? ?
? ? ?
?
K ?
rr ? 2 ?,
?
? , ?
? ? K ?
? ? rn ?
? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
100? ? ? ? ? ?
1
0
0
? ? ? ? ? ?
?下面证明? , ? , , ? 是齐次线性方程组的一个基础解系, 首先证明
?
1 2 n ? r
? 1 ? ? 0 ? ? 0 ?
? ? ? ? ? ?
? , ? , ? , ?
线性无关。因为向量组? 0 ?, ? 1 ?,? , ? 0 ? 是线性无关,则由上节所证
1 2 n ? r
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?明的性质得? , ? , , ? 线性无关。
?
1 2 n ? r
? ? ? ? ? ?
0 0 1? ? ? ? ?
0 0 1
? ? ? ? ? ?
? d ?
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