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【课程导入】
相似模型部分模型
相似三角形判定的基本模型
平行线型:
A 字型 X 字型 A、X 混合型相交线型:
AAA
A
A
B
C
B D C B D C D E
母子型 双垂直(射影定理) 旋转型
三垂直 一线三等角
!
你能找到每个图中的相似三角形吗
【漫漫学】
1 平行线型(A 字型和 X 字型及变形)
添加平行线构造相似
添
添
构造相似三角形的基本图形。
A
A
A
A
A
D
D
D
G
D
E
G
E
E
E
B
C
F
B
C
F B
C
F
B
G
C
F
【例 1】已知:如图,AD 是?ABC 的中线。
AF
求证:(1)若 E 为 AD 的中点,射线 CE 交 AB 于 F,求 BF ;
AE 1 AF
(2)若 E 为 AD 上的一点,且 ED ? k ,射线 CE 交 AB 于 F,求 BF 。
;
点,且 AE=2EC。求:AF 与
点,且 AE=2EC。求:AF 与 FB 的比值。
¥
【练习】在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AC 边上的任意一点,BE 交 AD 于点O.
某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:
AE 1 1 AO 2 2
当 AC
? 2 ? 1?1 时,有 AD
? 3 ?
2 ?1 (如图 1)
图 1 图 2 图 3 图 4
AE 1 1 AO 2 2
当 AC
? 3 ? 1? 2 时,有 AD
? 4 ?
2 ? 2
(如图 2)
AE 1 1 AO 2 2
当 AC
? 4 ? 1? 3 时,有 AD
AE 1
? 5 ?
2 ? 3 (如图 3)
在图 4 中,当 AC
? 1? n 时,参照上述研究结论,
请你猜想用 n 表示
AO 的一般结论,并给出证明(其中 n 是正整数).
AD
,
添构造相似三角形的基本图形。
添
构造相似三角形的基本图形。
结论为:
EF ? AB ? CD
1
1
1
【例 2】已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 B、D,AD 和 BC 相交于点 E,
1 1
EF⊥BD,垂足为 F,我们可以证明 ? ?
1
成立(不要求考生证明).
AB CD EF
若将图中的垂线改为斜交,如图,AB∥CD,AD,BC 相交于点 E,过点 E 作 EF∥
AB 交 BD 于点 F,则:
1 1 1
(1)
AB ? CD ?
还成立吗如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理
EF
由;
:
(2)请找出 S ,S 和 S
间的关系式,并给出证明.
△ABD
△BED
△BDC
【练习】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A,B 移 动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动,连接PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0<t<).
当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ABC 相似
是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值若存在,求 S 的最小值;若不存在,请说明理由.
/
相交线型
由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,故被称为“母子型”.图
由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,故被称为“母子型”.
图 1
图 2
当图 1 中∠BAC=90°时,模型由“母子型”就变成“双垂直”.
由图 1 可得:
.
由图 2 可得:
.(射影定理)
【例 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交于点 D,
|
过点 C 作 CE⊥AD 于 E,CE 的延长线交 AB 于点 F,过点 E 作 EG∥BC 交 AB 于 G,
AE·AD=16,AB=4 5 .
(1)求证:CE=EF;(2)求 EG 的长.
【练习】如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,点 E、F 在 AB 上,
∠ECF=45°.
求证:△ACF∽BEC;
设△ABC 的面积为 S,求证:AF·BE=2S.
旋转型
通过“旋转型”相似三角形的特征:
通过“旋转型”相似三角形的特征:
1、 由一点发出四条线段对应成比例; AD ? AE
AB AC
2、
)
3、
两对相似三角形; ?ABC∽?ADE和?ABD∽?ACE
3 、 CE ? AC ? AE
BD AB AD
旋转型的几何模型图:
【例1】 如图 1,两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上, DE ? 2 , AB ? 1.将直线EB 绕点 E 逆时针旋转45?,交直线AD 于点M .将图 1 中的三角板 ABC 沿直线l 向右平移,设C 、 E 两点间的距离为k
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