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标准文案
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行列式
行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 D ? DT .
性质 2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论 1 如果行列式有两行(列)的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.
a b c
如 a? b? c? ? 0 a b c
性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数 k 乘此行列式.
a a
11 12
如 ka ka
21 22
a a
31 32
a a a a
13 11 12 13
ka ? k a a a
23 21 22 23
a a a a
33 31 32 33
abca?kab?
a
b
c
a?
ka
b?
kb
c?
kc
? 0
性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.
a a
11 12
a a a
13 11 12
a a a a
13 11 12 13
如 a ? a? a ? a?
21 21 22 22
a ? a? ? a a
23 23 21 22
a ? a? a? a?
23 21 22 23
a a
31 32
a a a
33 31 32
a a a a
33 31 32 33
性质 5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.
a a
11 12
如 a a
21 22
a a
31 32
a
13
a ?
23
a a
33 31
a
11
a
21
ka
11
a
12
a
22
a ? ka
32 12
a
13
a
23
a ? ka
33 13
余子式与代数余子式
在 n 阶行列式中,把元素a
ij
所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1 阶行列式叫做元素a
ij
的余子
式,记作M , A
ij ij
? ( ?1)i? j M
ij
叫做元素a
ij
的代数余子式.
a a
11 12
如 a a
21 22
a a
31 32
a
13
a ,元素a
23 23
a
33
的余子式为M
23
a
? 11
a
31
a
a
12 ,
a
32
a
元素a
23
的代数余子式为 A
23
? ( ?1) 2?3 M
23
? ? 11
a
31
12 .
a
32
行列式按行(列)展开法则
定理 1 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D ? a A
i1 i1
a A
i 2 i 2
? a A
in in
或 D ? a A
1 j 1 j
a A ?
2 j 2 j
a A
nj nj
?i ? 1,2, , n; j ? 1,2 n?
a a
11 12
如 a a
21 22
a a
31 32
a
13
a ? a A
23 11 11
a
33
a A
12 12
a A
13 13
定理 2 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
a A
i1 j1
a A ?
i 2 j 2
a A
in jn
? 0, 或a A
1 j 1 j
a A ?
2 j 2 j
a A
nj nj
? 0 i ? j.
,?i ? 1,2,
,
行列式的计算
a
, n; j ? 1,2 n?
a
二阶行列式 11
a
21
三阶行列式
12 ? a a a 11 22
22
a a
12 21
a a
11 12
a a
21 22
a a
31 32
a
13
a ? a a a
23 11 22 33
a
33
a a a
12 23 31
a a a
13 21 32
a a a
13 22 31
a a
12
a
21 33
a a
11
a
23 32
??1?
?
?
1
?
对角行列式 2 ? ?
?
1
1
? ,n?2? ? (
? ,
n
?
2
? ??n( m?1 )
? ?
?
1 2 1 2 n
a
11
a a
三角行列式 21 22
a a
n1 n2
a a
n n
a a
11 12
a
? 22
a
nn
a
a
1n
?
? a
2n a a
11 22 nn
a
nn
a
11 1,n?1
a a
21 2,n ?1
a
n1
1n
?
a a
n1 n2
a
2,n ?1
1n
2na ? ( ?1)
2n
a
nn
n( n?1 )
2 a
1n
a a
2,n ?1 n1
消元法:利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.
降阶法:利用行列式的性质,化某
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