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线性方程组复习题
一、填空
设?
1
? ?1,2,0 ?,?
2
? ?? 1,0,3 ?,?
3
? ?2,3,4 ?,则2?
1
? 3?
2
? ? = 。
3
设?
1
? ?1,0,0 ?,?
2
? ?1,1,0 ?,?
3
? ?1,1,1?, ? ? ?1,2,3 ?,且有? ? x ?
1 1
x ?
2 2
? x ? ,
3 3
则 x ???, x ???, x ? 。
1 2 3
若?
1
? ?1,0,2 ?,?
2
? ?? 1,2,1?,?
3
? ?2, a ,5 ?线性无关,则a ???。
?若向量组? , ? , , ? 线性无关,则其任何部分向量组必线性 关。
?
1 2 m
5. 设 3×3 矩阵 A ? ?? , ? , ?
1 2
?,B ? ?? ,? ,?
1 2
?,其中? , ? ,? ,?
1 2
均是 3 维向量,且
A ? 3 , B ? 5 ,则 A ? B ???。
6. 对于m 个方程 n 个未知量的方程组 AX ? 0 ,若有r ( A ) ? r ,则方程组的基础解系中有 个解向量。
?7. ? x1
?
3 x
2
? 2 x ? 0
3
的基础解系由 个解向量组成。
?? 2 x ? 6 x ? 4 x ? 0
?
1 2 3
8. 已知 A 是 4×3 矩阵,且线性方程组 AX ? B 有唯一解,则增广矩阵 A 的秩是
。二、选择题
? ?设有向量组(I) ? ,? ,? 和(II) ? , ? , , ? ,向量组(I) 、
? ?
1 2 r 1 2 s
且向量组(I)可由向量组(II) 线性表示,则 成立。
秩(I) ? 秩(II) (B) r ? s (C) r ? 秩(II) (D) r ? s
2. 设? , ?
1 2
, ?
?m
?
有二个最大无关组:(1)? , ?
i i
, ?
?i
?
和 (2)? , ?
j j
, ?
?j
?
,则有
成立。
1 2 r 1 2 s
(A) r , s 不一定相等 (B) r ? s ? m (C) r ? s ? m
(D) (1)中的向量必可由(2)线性表示,(2)中的向量必可由(1)线性表示
3. 设? ,?
1 2
是 AX ? 0 的解, ? , ?
1 2
是 AX ? B 的解,则
(A) 2?
1
? 是 AX ? 0 的解 (B) ?
1 1
? 是 AX ? B 的解
2
(C) ?
1
? 是 AX ? 0 的解 (D) ?
2 1
? 是 AX ? B 的解
2
?设? , ? , ? 是齐次线性方程组 AX ? 0 的基础解系,则 。
?
1 2 s
?? , ? , ? 线性相关 (B) AX ? 0 的任意s ? 1 个解向量线性相关
?
1 2 s
(C) s ? r ( A ) ? n (D) AX ? 0 的任意s ? 1 个解向量线性相关
5. 设? ,?
? x ? x ? x
是? 1 2 3
是
? 1 的二个解,则 。
?1 2 2 x ? x ? 0
?
1 2
(A) ? ? ?
? x ? x ? x
是? 1 2 3
是
? 0 的解 (B) ? ? ?
? x ? x ? x
是?? 1 2 3
是
?
? 0 的解
?1 2 2 x ? x ? 0
?
1 2
1 2 2 x ? x ? 0
1 2
? x ? x ? x ? 1 ? x ? x ? x ? 1
(C) 2?
是? 1 2 3
的解 (D) 2?
是? 1 2 3 的解
1 ? 2 x ? x ? 0 2 ? 2 x ? x ? 0
1 2 1 2
n 元齐次线性方程组系数矩阵的秩r ? n ,则方程组 。
有 r 个解向量线性无关 (B) 的基础解系由 r 个解向量组成
(C) 的任意r 个线性无关的解向量是它的基础解系 (D) 必有非零解
设 A 是m ? n 阶矩阵,且r ( A ) ? r ,则线性方程组 AX ? B 。
当 r ? n 时有唯一解 (B) 当有无穷多解时,通解中有 r 个自由未知量
(C) 当 B ? 0 时只有零解 (D) 有无穷多解时,通解中有 n ? r 个自由未知量
设 A 是m ? n 矩阵, A 经过有限次初等变换变成 B ,则下列结论不一定成立的是 。
B 也是m ? n 矩阵 (B) r ( A ) ? r ( B ) (C) A 与 B 等价
(D) 齐次线性方程组 AX ? 0 与 BX ? 0 同解
三、已知? 1 ? ?1,? 1
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