- 1、本文档共37页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第一页,共三十七页,2022年,8月28日 对于一个常微分方程: 通常会有无穷个解。如: 因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题: 为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在f上,要求f对y满足Lipschitz条件: 第二页,共三十七页,2022年,8月28日 常微分方程的解是一个函数,但是,计算机没有办法对函数进行运算。因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节点的近似值。 例:我们对区间做等距分割: 设解函数在节点的近似为 由数值微分公式,我们有 ,则: 向前差商公式 可以看到,给出初值,就可以用上式求出所有的 第三页,共三十七页,2022年,8月28日 基本步骤如下: ③ 解差分方程,求出格点函数 ① 对区间作分割: 求 在 上的近似值 。 称为分割 上的格点函数 ② 由微分方程出发,建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足: A、解存在唯一;B、稳定,收敛;C、相容 数值方法,主要研究步骤②,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质。 这种方法 ,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数y在这些 点上的值的近似。 我们的目的,就是求这个格点函数 第四页,共三十七页,2022年,8月28日 为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论: ① 步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题 第五页,共三十七页,2022年,8月28日 8.1 Euler公式 做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。 1、向前差商公式 所以,可以构造差分方程 称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播,积累。因此还要估计这种积累 第六页,共三十七页,2022年,8月28日 定义 在假设 yi = y(xi),即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有p 阶精度。 记为 2、收敛性 考察局部误差的传播和积累 第七页,共三十七页,2022年,8月28日 第八页,共三十七页,2022年,8月28日 称为整体截断误差 是1阶方法 第九页,共三十七页,2022年,8月28日 3、稳定性-误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况,即仅初值有误差,而其他计算步骤无误差。 设 是初值有误差后的计算值,则 所以,我们有: 可以看出,向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小,以后各步的误差 也充分小 第十页,共三十七页,2022年,8月28日 4、向后差商公式 是隐格式,要迭代求解 可以由向前差商公式求出 第十一页,共三十七页,2022年,8月28日 5、中心差商公式 是多步,2阶格式,该格式不稳定 6、梯形法-基于数值积分的公式 对微分方程 做积分,则: 第十二页,共三十七页,2022年,8月28日 类似,可以算出其误差估计式: 2阶的方法 所以,有格式为: 是个隐式的方法,要用迭代法求解 局部截断误差 第十三页,共三十七页,2022年,8月28日 8.2 Runge-Kutta法 由Taylor展开 记为 所以,可以构造格式 这种格式使用到了各阶偏导数,使用不便。 第十四页,共三十七页,2022年,8月28日 从另一个角度看, 取(x,y)及其附近的点做线性组合,表示F,问题就好办了。当然,要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge-Kutta法 第十五页,共三十七页,2022年,8月28日 在(x,y)处展开, 比较 以2阶为例,设 第十六页,共三十七页,2022年,8月28日 有: 1、改进的Euler公式 2、Heun公式 第十七页,共三十七页,2022年,8月28日 一般的Runge-Kutta法构造 常见的为3阶,4阶公式 第十八页,共三十七页,2022年,8月28日 8.3 线性多步法 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似y(xn+1)。 ) ... ( ... 1 1 0 1 1 1 1 0 1 k n k n n n k n k n n n f f f f h y y y y - - + - - - + + + + + + + + + =
您可能关注的文档
最近下载
- 电光PBG-()Y高压配电装置说明书(永磁DSB-600B型).pdf
- 中国血脂管理指南(基层版2024年).doc
- 一汽-大众供应商代码文档.pptx
- GB∕T 33580-2017 橡胶塑料挤出机能耗检测方法(高清版).pdf
- 双减背景下新课标单元整体作业分层设计案例 人教版小学数学四年级下册第八单元 数学广角优化.docx
- 标日【初级】单词.pdf VIP
- 初中英语新人教版七年级上册Unit 1 Hello练习题(附参考答案)(2024秋).doc
- 产品包装纸箱设计规范.doc
- 《大单元视域下小学语文中段习作单元教学的实践研究》课题研究方案.doc
- 管理学(第九版)-哈罗德·孔茨、海因茨·韦里克课后题答案.pdf VIP
文档评论(0)