常微分方程 数值解法.ppt

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第一页，共三十七页，2022年，8月28日 对于一个常微分方程： 通常会有无穷个解。如： 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题： 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件： 第二页，共三十七页，2022年，8月28日 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。 例：我们对区间做等距分割： 设解函数在节点的近似为 由数值微分公式，我们有 ，则： 向前差商公式 可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的 第三页，共三十七页，2022年，8月28日 基本步骤如下： ③ 解差分方程，求出格点函数 ① 对区间作分割： 求 在 上的近似值 。 称为分割 上的格点函数 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。 这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些 点上的值的近似。 我们的目的，就是求这个格点函数 第四页，共三十七页，2022年，8月28日 为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题 第五页，共三十七页，2022年，8月28日 8.1 Euler公式 做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。 1、向前差商公式 所以，可以构造差分方程 称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累 第六页，共三十七页，2022年，8月28日 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 记为 2、收敛性 考察局部误差的传播和积累 第七页，共三十七页，2022年，8月28日 第八页，共三十七页，2022年，8月28日 称为整体截断误差 是1阶方法 第九页，共三十七页，2022年，8月28日 3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。 设 是初值有误差后的计算值，则 所以，我们有： 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差 也充分小 第十页，共三十七页，2022年，8月28日 4、向后差商公式 是隐格式，要迭代求解 可以由向前差商公式求出 第十一页，共三十七页，2022年，8月28日 5、中心差商公式 是多步，2阶格式，该格式不稳定 6、梯形法－基于数值积分的公式 对微分方程 做积分，则： 第十二页，共三十七页，2022年，8月28日 类似，可以算出其误差估计式： 2阶的方法 所以，有格式为： 是个隐式的方法，要用迭代法求解 局部截断误差 第十三页，共三十七页，2022年，8月28日 8.2 Runge－Kutta法 由Taylor展开 记为 所以，可以构造格式 这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。 第十四页，共三十七页，2022年，8月28日 从另一个角度看， 取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge－Kutta法 第十五页，共三十七页，2022年，8月28日 在(x,y)处展开， 比较 以2阶为例，设 第十六页，共三十七页，2022年，8月28日 有： 1、改进的Euler公式 2、Heun公式 第十七页，共三十七页，2022年，8月28日 一般的Runge－Kutta法构造 常见的为3阶，4阶公式 第十八页，共三十七页，2022年，8月28日 8.3 线性多步法 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似y(xn+1)。 ) ... ( ... 1 1 0 1 1 1 1 0 1 k n k n n n k n k n n n f f f f h y y y y - - + - - - + + + + + + + + + =