典型方程和定解条件的推导.ppt

第一页，共二十八页，2022年，8月28日 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 § 1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型 （现象、过程） 数学形式表述 （偏微分方程并求解） 目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。 步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律， 分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。 数学物理方程与特殊函数 不含初始条件 不含边界条件 第二页，共二十八页，2022年，8月28日 物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿 直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影 响，在铅直平面内作横向、微小振动。 平衡位置 任意截取一小段，并抽象性夸大。 弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。 数学物理方程与特殊函数 一. 均匀弦的横振动方程的建立 第三页，共二十八页，2022年，8月28日 X 1、建立坐标系 选定微元 u o ds M N M N’ x x+dx 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律） T T ’ 3、忽略与近似 4、整理化简 T、T ’——微元两端所受张力 ——细弦的线密度（单 位长度内的质量 g ——重力加速度 数学物理方程与特殊函数 第四页，共二十八页，2022年，8月28日 X 1、建立坐标系 选定微元 u o ds M N M N’ x x+dx 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律） T T ’ 数学物理方程与特殊函数 (1) (2) 第五页，共二十八页，2022年，8月28日 3、忽略与近似 (1) (2) ds M N M N’ T T ’ u o x x+dx 对于小振动： 所以有： 第六页，共二十八页，2022年，8月28日 3、忽略与近似 (1) (2) 对于小振动： 所以有： 于是（1）式变为： （2）式变为： 一般说来， 将 g 略去。 第七页，共二十八页，2022年，8月28日 3、忽略与近似 于是（1）式变为： （2）式变为： 一般说来， 将 g 略去，得 考虑到角度很小，近似地与 u 无关： 于是左下角式变为： 第八页，共二十八页，2022年，8月28日 3、忽略与近似 上式实际上可以明确表示为： 这里表示：自变量由 x 增加到 x+dx 时，函数的增量。既然 dx 很小，这个这个增量不妨用微分带代替。 令 ，于是有： 一维波动方程 第九页，共二十八页，2022年，8月28日 + – L L C C ＋ － + - ● ● 二. 传输线方程(电报方程)的建立 物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。 现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。 1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程 数学物理方程与特殊函数 P——电路的节点 时刻 t 电路中的瞬时电流 第十页，共二十八页，2022年，8月28日 数学物理方程与特殊函数 电容元件： 电感元件： 换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。 电路准备知识 第十一页，共二十八页，2022年，8月28日 + – L L C C ＋ － + - ● ● 二. 传输线方程(电报方程)的建立 与同学们商榷的几个问题：（P4-5） （1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？ （3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？ 1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程 数学物理方程与特殊函数 P——电路的节点？ 时刻 t 电路中的瞬时电流 “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即 第十二页，共二十八页，2022年，8月28日 梁昆淼先生的做法： “今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是 亦即 亦即 将