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第一页,共二十八页,2022年,8月28日 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 § 1.1 基本方程(泛定方程)的建立 物理模型 (现象、过程) 数学形式表述 (偏微分方程并求解) 目的:掌握基本分析方法,培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。 步骤:(1)确定研究对象(物理量),建立合适的坐标系; (2)在系统内部,任取一微元,利用物理规律, 分析其与相邻部分间的作用; (3)忽略次要因素,抓住主要矛盾; (4)化简整理,得到偏微分方程。 数学物理方程与特殊函数 不含初始条件 不含边界条件 第二页,共二十八页,2022年,8月28日 物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦,平衡时沿 直线拉紧,除受到重力外,不受其它外力影 响,在铅直平面内作横向、微小振动。 平衡位置 任意截取一小段,并抽象性夸大。 弦的振动:虽然经典,但 极具启发性。 数学物理方程与特殊函数 一. 均匀弦的横振动方程的建立 第三页,共二十八页,2022年,8月28日 X 1、建立坐标系 选定微元 u o ds M N M N’ x x+dx 2、微元ds的动力学方程(牛顿第二运动定律) T T ’ 3、忽略与近似 4、整理化简 T、T ’——微元两端所受张力 ——细弦的线密度(单 位长度内的质量 g ——重力加速度 数学物理方程与特殊函数 第四页,共二十八页,2022年,8月28日 X 1、建立坐标系 选定微元 u o ds M N M N’ x x+dx 2、微元ds的动力学方程(牛顿第二运动定律) T T ’ 数学物理方程与特殊函数 (1) (2) 第五页,共二十八页,2022年,8月28日 3、忽略与近似 (1) (2) ds M N M N’ T T ’ u o x x+dx 对于小振动: 所以有: 第六页,共二十八页,2022年,8月28日 3、忽略与近似 (1) (2) 对于小振动: 所以有: 于是(1)式变为: (2)式变为: 一般说来, 将 g 略去。 第七页,共二十八页,2022年,8月28日 3、忽略与近似 于是(1)式变为: (2)式变为: 一般说来, 将 g 略去,得 考虑到角度很小,近似地与 u 无关: 于是左下角式变为: 第八页,共二十八页,2022年,8月28日 3、忽略与近似 上式实际上可以明确表示为: 这里表示:自变量由 x 增加到 x+dx 时,函数的增量。既然 dx 很小,这个这个增量不妨用微分带代替。 令 ,于是有: 一维波动方程 第九页,共二十八页,2022年,8月28日 + – L L C C + - + - ● ● 二. 传输线方程(电报方程)的建立 物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫(Kirchhoff)定律指出:同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流(指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度),电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视,因而同一支路中电流呈现瞬态变化。 现在考虑电流一来一往的高频传输线,它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。 1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程 数学物理方程与特殊函数 P——电路的节点 时刻 t 电路中的瞬时电流 第十页,共二十八页,2022年,8月28日 数学物理方程与特殊函数 电容元件: 电感元件: 换路定理: 在换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。 电路准备知识 第十一页,共二十八页,2022年,8月28日 + – L L C C + - + - ● ● 二. 传输线方程(电报方程)的建立 与同学们商榷的几个问题:(P4-5) (1)设某时刻 t ,输入与输出端的对应关系是否合理? (2)电流 作为初始条件,在流经电感时是否要变化? (3)按照图示,电容与电导两端的电压如何界定(注意P5. -1.5式)? 1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程 数学物理方程与特殊函数 P——电路的节点? 时刻 t 电路中的瞬时电流 “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即 第十二页,共二十八页,2022年,8月28日 梁昆淼先生的做法: “今考虑一来一往的高频传输线,每单位长一来一往所具有的电阻,电感,电容,电漏分别记以R,L,C,G。于是 亦即 亦即 将
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