平板弯曲问题的有限元法MATLAB.pdf

《有限元法》项目报告 平板弯曲问题的有限单元法 提交日期：2019 年5 月20 日 一、理论部分 1.1 板壳单元 板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件，在工程中应用广泛。由于它的 这种几何特点，它的变形分析也很有特殊性。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近， 否则求解精度由于“剪切自锁”(shear locking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的 结果。所以必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自 由度疯狂地增长，花费大量的计算和前后处理时间。因此开发适合于板壳结构的专用单元是 十分必要的，事实上，目前已经有各种各样的板壳单元出现。仿照根据梁理论建立梁单元的 思路，自然想到根据板理论建立板单元。这里讨论两种板理论，一是薄板理论，也被称为 Kirchhoff 板理论，它忽略了板的横向剪切变形；另一种是 Mindlin 板理论，它考虑了板的 横向剪切变形的影响，适合于板的厚跨比较大的情形。后者也常被称为Reissner 板理论或中 厚板理论。根据这两种理论可以建不同的板单元。 1.2 弹性板的弯曲 板的详细理论很繁杂，为了便于阅读，这里作简单叙述。设板的中面在 平面上，即 = 0 表示板的中面，如图 1 所示。在板理论中，一般假设板的中面是一中性面，也就是在 没有面内力时，中面上的三个应变 = = = 0 。另一个基本假设即为所谓的直法线假 定：变形前垂直于中面的法线变形后仍然保持直线，但是不一定仍然垂直于变形后 的中面， 如图2 所示。这条直线有绕 和 轴的转角分别为 和 。则距离中面距离为 z 的任意点 的位移和应变分别是 图1 板及其变形 = − ， = ， = − ′ ， = − ′ （1） = − ( ′ + ( ′ ) ， = − ， = − ′ ′ 这里 是板的横向挠度，假设它沿板的厚度方向不变，即 = 0 。上式是Mindlin 板理论的基本假定。如果假定变形后的法线仍然是变形后中面的法线，即 = 和 ′ = ，则式(1) 中的两个横向剪切应变 和 为零，这就退化为Kirchhoff 板理 ′ 论。当板足够薄时，用Kirchhoff 板理论能得到符合实际的结果。 图2 板横截面内的应力分布和内力 在截面上的应力分别如图2 所示。在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示，它们 与应力之间的关系为 −2/ℎ −2/ℎ −2/ℎ = ∫ ， = ∫ ， = ∫ −2/ℎ −2/ℎ −2/ℎ