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期末精选
七年级下学期【压轴题50 题】
一.解答题(共50 小题)
1.(2022 秋•启东市校级月考)(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B
=∠D =90 °,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF = ∠BAD .求证:
EF =BE+FD ;
(2 )如图2 ,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B+ ∠D =180°,E 、F 分别是
边BC 、CD 上的点,且∠EAF = ∠BAD ,(1)中的结论是否仍然成立?
(3 )如图3,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B+ ∠ADC =180°,E 、F 分
别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF = ∠BAD ,(1)中的结论是否仍然
成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
【答案】见试题解答内容
【解答】证明:(1)延长EB 到G,使BG =DF ,连接AG .
∵∠ABG =∠ABC =∠D =90 °,AB =AD ,
∴△ABG ≌△ADF .
∴AG =AF ,∠1=∠2 .
∴∠1+∠3 =∠2+ ∠3 =∠EAF = ∠BAD .
∴∠GAE=∠EAF .
又∵AE =AE ,
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG =EF .
∵EG =BE+BG .
∴EF =BE+FD
(2 )(1)中的结论EF =BE+FD 仍然成立.
(3 )结论EF =BE+FD 不成立,应当是EF =BE ﹣FD .
证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .
∵∠B+ ∠ADC =180°,∠ADF+ ∠ADC =180°,
∴∠B =∠ADF .
∵AB =AD ,
∴△ABG ≌△ADF .
∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF .
∴∠BAG+ ∠EAD =∠DAF+ ∠EAD
=∠EAF = ∠BAD .
∴∠GAE=∠EAF .
∵AE =AE ,
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG =EF
∵EG =BE ﹣BG
∴EF =BE ﹣FD .
2 .(2022 春•汉阳区期末)当光线经过镜面反射时,入射光线、反射光线与镜面
所夹的角对应相等例如:在图①、图②中,都有∠1=∠2 ,∠3 =∠4 .设镜
子AB 与BC 的夹角∠ABC =α.
(1)如图①,若α=90 °,判断入射光线EF 与反射光线 GH 的位置关系,
并说明理由.
(2 )如图②,若90 °<α<180°,入射光线EF 与反射光线GH 的夹角∠FMH
=β.探索α 与β 的数量关系,并说明理由.
(3 )如图③,若α=120°,设镜子CD 与BC 的夹角∠BCD =γ (90 °<γ<
180°),入射光线EF 与镜面AB 的夹角∠1=m (0 °<m <90 °),已知入射
光线EF 从镜面AB 开始反射,经过n (n 为正整数,且n ≤3 )次反射,当第n
次反射光线与入射光线EF 平行时,请直接写出γ 的度数.(可用含有m 的代
数式表示)
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)EF ∥GH,理由如下:
在△BEG 中,∠2+ ∠3+α=180°,α=90 °,
∴∠2+ ∠3 =90 °,
∵∠1=∠2 ,∠3 =∠4 ,
∴∠1+∠2+ ∠3+∠4 =180°,
∵∠1+∠2+ ∠FEG =180°,
∠3+∠4+ ∠EGH =180°,
∴∠FEG+ ∠EGH =180°,
∴EF ∥GH;
(2 )β=2α ﹣180°,理由如下:
在△BEG 中,∠2+ ∠3+α=180°,
∴∠2+ ∠3 =180°﹣α,
∵∠1=∠2 ,∠1=∠MEB ,
∴∠2 =∠MEB ,
∴∠MEG =2 ∠2 ,
同理可得,∠MGE =2 ∠3,
在△MEG 中,∠MEG+ ∠MGE+β=180°,
∴β=180°﹣(∠MEG+ ∠MGE )
=180°﹣(2 ∠2+2 ∠3 )
=180°﹣2 (∠2+ ∠3 )
=180°﹣2 (180°﹣α)
=2α ﹣180°;
(3 )90 °+m 或150°.
理由如下:①当n =3 时
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