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椭圆的焦点弦长公式
2ab2
F1F2a2c2cos2及其应用
在相关椭圆的综合题中,经常碰到椭圆焦点弦的问题,怎样解决这种问题呢?第一我们有命题:
若椭圆的焦点弦
F1F2
所在直线的倾斜角为
,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短
半轴长和焦半距,则有
F1F2
2ab2
。
a2
c2cos2
上边命题的证明很简单得出,在此笔者只说说该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长
AB
8,焦距F1F2
4
2,过椭圆的焦点F1作向来线交椭
圆于P、Q两点,设
PF1X
(0
),当
取什么值时,
PQ等于椭圆的短轴
长?
剖析:由题意可知
PQ是椭圆的焦点弦,且
a
4,c
22
,进而b2
2,故由焦
点弦长公式
F1F2
2ab2
24(22)2
42,解得
a
2
c2cos2
及题设可得:
8cos2
16
cos
2
2,即
arc
cos2
2或
arc
cos
2
2。
例2、在直角坐标系中,已知椭圆
E的一个焦点为
F(3,1),相应于F的准线为Y轴,直
线l经过点F,且倾斜角为
3
,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为
16,求椭圆E的方程。
5
剖析:由题意可设椭圆
E的方程为(xc3)2
(y
1)2
1,又椭圆E相应于F的准线为Y
a2
b2
轴,故有a2
c
3
(1),又由焦点弦长公式有
2ab2
16
(2)又
c
a
2
c
2
cos
2
5
3
a2
b2
c2
(3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:a2
4,b2
3,c1,
进而所求椭圆
E的方程为(x
4)2
(y1)2
1。
4
3
例3、已知椭圆
C:x2
y2
1(a
b
0
),直线l1:x
y
1被椭圆C截得的弦
a2
b2
a
b
长为2
2,过椭圆右焦点且斜率为
3的直线l2
被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的
2,求椭
5
圆C的方程。
剖析:由题意可知直线
l1过椭圆C的长、短轴的两个端点,故有
a2
b2
8
,
(1)又
由焦点弦长公式得
2ab2
=
4a,
(2)
因tan=
3,得
,(3)
a
2
c2cos2
5
3
又a2
b2
c2
(4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:
a2
6
,b2
2,
进而所求椭圆
E的方程为x2
y2
1。
6
2
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