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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长(边)的最值(范围)问题(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、知识点梳理
1.正弦定理
.(其中为外接圆的半径)
(边化角)
(角化边)
2.余弦定理:
3.三角形面积公式:
=12
4.三角形内角和定理:
在△ABC中,有.
5.基本不等式(优先用基本不等式)
①
②
6.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)
利用正弦定理,,代入面积公式,化角,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积或者周长的最值。
二、题型精讲精练
二、题型精讲精练
【典例1】若,,求的最大值.建议使用两种方法来解决:
法一:余弦定理+不等式.
法二:正弦定理+辅助角公式+三角形面积公式.
【分析】方法一:利用余弦定理和基本不等式可求得,代入三角形面积公式即可求得最大值;
方法二:利用正弦定理边化角,结合三角恒等变换知识可化简得到,结合的范围,由正弦型函数值域的求法可求得的范围,代入三角形面积公式即可求得最大值.
解:方法一:由余弦定理得:,
(当且仅当时取等号),,
(当且仅当时取等号),的最大值为;
方法二:由正弦定理得:,
;
,,,,
,的最大值为.
【典例2】若,,求周长的取值范围.建议使用两种方法来解决:
法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.
法二:正弦定理+辅助角公式.
【分析】方法一:利用余弦定理构造方程,根据可求得的最大值,结合三角形三边关系可求得结果;
方法二:利用正弦定理角化边,可将化为,结合的范围,由正弦型函数值域的求法可求得结果.
解:方法一:由余弦定理得:,
又(当且仅当时取等号),,
解得:(当且仅当时取等号),
又,,周长的取值范围为;
方法二:由正弦定理得:,
,
,,,,
即周长的取值范围为.
【题型训练1-刷真题】
1.(2022·全国·统考高考真题)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若,求B;
(2)求的最小值.
2.(2020·全国·统考高考真题)中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求周长的最大值.
3.(2020·浙江·统考高考真题)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(I)求角B的大小;
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.
【题型训练2-刷模拟】
1.面积的最值(范围)问题
一、解答题
1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)在中,角,,的对边分别是,,,满足.
(1)求角;
(2)若点D在AB上,CD=2,∠BCD=90°,求△ABC面积的最小值.
2.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,求面积的最大值.
3.(2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模)已知内角所对的边长分别为.
(1)求;
(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.
4.(2023·新疆喀什·校考模拟预测)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求∠C.
(2)若,求面积的最小值.
5.(2023·西藏日喀则·统考一模)已知的三个内角分别为、、,其对边分别为、、,若.
(1)求角的值;
(2)若,求面积的最大值.
6.(2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习)的内角的对边分别为,已知.
(1)求角的值;
(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.
7.(2023·全国·高三专题练习)在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,,D为边上一点,平分.
(1)求角A;
(2)求面积的最小值.
8.(2023·全国·高三专题练习)在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若,且,求面积的取值范围.
9.(2023·浙江·校联考模拟预测)在中,角所对的边分别为.
(1)若外接圆的半径为,求面积的最大值;
(2)若内切圆的半径为,求面积的最小值.
10.(2023·全国·高三专题练习)在中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,且,求面积的取值范围.
11.(2023·江西·校联考二模)在中,角所对的边分别为,已知.
(1)求角;
(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.
12.(2023·广东茂名·统考二模)已知中,角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,点、在边上,,求面积的最小值.
13.(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,其中,.
(1)求角B的大小;
(2)若,求△ABC面积的最大值.
14.(2023·浙江·校联考模拟预测)在中,a,b,c分别为内角A,B,C
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