立体几何知识点总结.doc

PAGE PAGE 5 高中数学高考总复习 高三数学总复习九—立体几何 — — 高中数学第九章-立体几§棱锥、棱柱. 1. 棱柱. = 1 \* GB2 ⑴ = 1 \* GB3 ①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. = 2 \* GB3 ②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. = 2 \* GB2 ⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}. {直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}. = 3 \* GB2 ⑶棱柱具有的性质： = 1 \* GB3 ①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. = 2 \* GB3 ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. = 3 \* GB3 ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注： = 1 \* GB3 ①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） = 2 \* GB3 ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. = 4 \* GB2 ⑷平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则. [注]： = 1 \* GB3 ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） = 2 \* GB3 ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） = 3 \* GB3 ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） = 4 \* GB3 ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以. = 1 \* GB2 ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]： = 1 \* roman i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） = 2 \* roman ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为） = 3 \* GB3 ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为） 附： 以知⊥，，为二面角. 则 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③ = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得. 注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. = 2 \* GB2 ⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. = 3 \* GB2 ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： = 1 \* GB3 ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. = 2 \* GB3 ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. = 3 \* GB3 ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. = 4 \* GB3 ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. = 5 \* GB3 ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. = 6 \* GB3 ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. = 7 \* GB3 ⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； = 8 \* G