概率论与数理统计习题全解.doc

习题1 写出下列随机试验的样本空间： 一射手射击运动中的气球，连续3次都击中，观察其射击次数； 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和； 观察某加油站一天内前来加油的人数； 从编号1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品； 检查两件产品是否合格； 观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于9，最高气温不高于19）； 在单位圆内任取两点，观察这两点的距离； 在长为2的线段中任取一点，该点将线段分成两段，观察其中一段的长度。 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)。 在计算机系中学生中任选一名学生，令事件表示被选学生是男生，事件表示该生是三年级学生，事件表示该生是运动员。 叙述事件的意义； 在什么条件下成立？ 什么时候关系式是正确的？ 解：(1)表示不是运动员的三年级男生； (2)当所有三年级男生都是运动员时，成立； (3)当运动员都是三年级学生时，是正确的。 将下列事件用表示出来： 发生； 只有发生； 与都发生而不发生； 三个事件都发生； 三个事件中至少有一个发生； 三个事件中至少有两个发生； 三个事件中恰好发生一个； 三个事件中恰好发生两个； 三个事件都不发生； 三个事件中不多于两个事件发生； 三个事件中不多于一个事件发生。 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)。 在图书馆中随意抽取一本书，事件表示“数学书”，表示“中文图书”，表示“平装书”。 说明事件的实际意义； 若，说明什么情况？ 是否意味着馆中所有数学书都不是中文版的？ 解：(1)表示非平装的中文数学书； (2)若，则说明非平装图书都是中文图书； (3)，即所有数学书都不是中文版的。 证明下列等式： ； 。 证：(1)， 所以。 (2) 。 一部有五卷的长篇小说任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为12345顺序的概率等于多少？ 解：将5本书排列到书架上共有种排法，卷号自左向右或自右向左恰好为12345顺序共有2种排法，故所求概率为。 在分别写有2,4,6,7,8,11,12,13的八张卡片中任取两张，把卡片的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解：从八张卡片中任取两张共有种取法，两个数字组成既约分数共有18种取法，故所求概率为。 一个小孩用13个字母作组字游戏。如随机地排列字母，问他组成的概率等于多少？ 解：13个字母随机排列共有13!种排法，组成共有种排法，故所求概率为。 一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开都是等可能的，求没有2位乘客在同一层离开的概率。 解：7位乘客在2~10层的离开情况共有种，没有2位乘客在同一层离开共有种情况，故所求概率为。 一个班级有个男生及个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女人数相等的概率。 解：把全班学生任意地分成人数相等的两组共有种分法，每组中男女人数相等共有种分法，故所求概率为。 从双尺码不同的鞋子中任取只，求下列事件的概率： 所取只鞋子中没有两只成对； 所取只鞋子中只有两只成对； 所取只鞋子中恰成对。 解：从双鞋子中任取只共有种取法。 (1)所取只鞋子应分属双中的双，而每双中又可任取其中一只，即取法有，故所求概率为。 (2) 所取只鞋子中有2只属于双中的某一双，其余只分属双中的双，，即取法有，故所求概率为。 (3)将一双鞋子视为一个整体，则只鞋子中恰成对共有种取法，故所求概率为。 设有根同样长的棒都分成长度为1与2之比的两根小棒，然后把根小棒任意地分成对，每对又接成一根“新棒”，求下列事件的概率： 全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的； 全部新棒的长度都与原来的一样。 解：将根小棒接成根新棒共有种接法。 (1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求概率为。 (2)全部新棒的长度都与原来的一样共有种情况，故所求概率为。 在三角形中任取一点，证明：与面积之比大于的概率为。 证明： 如图，由，得。 显然，当落在中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发生的概率为 两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求两艘船都不需要等候泊位空出的概率。 解： 设两艘船的到达时刻为，则，两船相会的条件为，。如图，由几何概率知，所求概率为 。 两人约好在某地相会，两人随机地在下午1点与2点之间到达相会地点，求一个至少要等候另一个人十分钟的概率。 解： 设两人的到达时刻分别为，则，一人至少等候十分钟的条件为。如图，由几何概率知，所求概率为 。 圆内有一内接正方形，随机地向圆内投10点，求其中4点落在