超几何分布与二项分布辨析.docx

试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 3 3页 超几何分布与二项分布辨析 对于离散型随机变量的这两种分布列，学生经常分不清楚，特别是对于同一个具体问题错误的使用另一种分布列模型时所求的期望又是正确的，这更加使学生感到困惑。下面从两个方面来区分这两种分布列。 一、基本概念 1．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响． (2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 2．超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，(其中m是M，n中的最小值，n≤N，M≤N，n、M、N∈N*)． 则称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布记作X～H(N、M、n). 3．二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2)若X～H(N、M、n)，则E(X)＝eq \f(nM,N). 二、两种分布列的区别 （一）从抽样方法来区分 例1、盒子中有大小相同的4个红球和6个黑球. （1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球次数X的分布列。 解：由已知X~N(3,0.4)， 所以，X的分布列为: （2）从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个球），求取到红球个数Y的分布列。 解：由已知Y服从超几何分布， 所以，Y的分布列为: 问题（1）抽取1个球后放回，每次抽到红球概率不变——独立重复试验，因此，X=1表示有1次抽到红球，有可能是在第1、2、3次抽到，所以 问题（2）抽取1个球后不放回，每次抽到红球概率改变——非独立重复试验，从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个球）， 因此Y=1表示抽到1个红球，若逐个抽取，有可能是在第1、2、3次抽到，所以 从以上对比可见，超几何分布与二项分布从抽样方法上来说，就是不放回抽样和放回抽样的区别。但具体到实际问题，学生还是搞不清，这时还需要从另一个角度来区分。 （二）从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分 例2、某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品. （1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X分布列和期望； （2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y分布列和期望; （3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z分布列和期望. 分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。第（3）问是从所生产的全部产品中抽取，而全部产品有多少件题目条件没给出，这时总体N不明确（若总体N明确，就属于第（2）问情况），其中所含次品件数M自然也是不明确的。因此，类似的，在“用频率估计概率”这一条件，该随机变量的分布为二项分布。 解：（1）x的可能取值为0，1，2，根据题意X～H(10、2、3)，所以x分布列为： （2）Y的可能取值为0，1，2，3，根据题意Y～B(3,0.2)，所以Y分布列为： （3）Z的可能取值为0，1，2，3，根据题意Z～B(3,0.2)，所以Z分布列为： 以上分析用一个表归纳如下： 抽取总体个数N 总体中所含次品M个数 随机变量分布类型 明确 明确 超几何分布 明确 不明确 二项分布 不明确 不明确 二项分布 从例2可以看到，当保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与相差越