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函数的单调性与导数
一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
(一)复习引入
求下列函数的导数: (1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
设计意图 :复习上节课的内容,由(4)引出高台跳水的例子.
新课讲解
问题:右图(1)它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
问题1:高台跳水运动的高度随时间变化的函数:,观察图像的变化情况和相应的导函数的变化情况.
设计意图:利用几何画板,直观观察原函数的单调性与导函数的正负之间的关系.
归纳:(1)在(0,a)内,在(0,a)内单调递增;
(2)在(0,a)内,在(0,a)内单调递减;
问题2:在同一坐标系内,分别作出下列函数的图像:
((1) ; (2) ;
(3) , ; (4) ,.
设计意图:结合学生学过的函数,借助这些函数的图像,让学生观察函数的单调
性与导函数的正负之间的关系.
归纳:函数的单调性与导函数的符号之间的关系
若,则在(a,b)上是增函数;
若,则在(a,b)上是减函数;
思考:如果在某个区间内恒有,那么函数f(x)有什么特性?
(三)例题讲解
例1:教材P24面的例1.
例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
(四)归纳小结
(1)函数的单调性与导函数的符号之间的关系
(2)利用导数确定函数的单调性的步骤:
(五)布置作业
课后练习1,2
(六)教学反思:
本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受,可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思考解决问题:
1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回顾以前的方法;
2、从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须寻求一个新的解决办法,产生认知冲突,认识到再次研究单调性的必要性;
3、从简单的、熟悉的函数图像入手,引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化,再与新学的导数联系起来,形成结论。另外,也使学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊到一般。
4、应用中重点指导学生的解题步骤,避免考试中隐性失分。
在今后的教学中,应注重学生的参与,引发认知冲突,教会学生思考问题。加强教案设计的合理性,语言做到准确、简练。节奏要把握好。
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