离心率的值和范围.docx

圆锥曲线的离心率的求值或取值范围(答案) 【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立 意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能 有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和 美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】 方法 1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出a, c 的值 c 第二步 代入公式e ? ，求出离心率e . a 例 1. 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 ?1,0?、 F 2 ?3,0?，则其离心率为（ ） 3 2 1 1 4 3 2 4 【答案】C x2 设椭圆E： a2 y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为A、右焦点为F，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交 椭圆E 于点C，若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆 E 的离心率是 1 【答案】 3 【解析】 试题分析：如图 3，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且 | OF | ? 1 ，即 c ? 1 ? c ? 1 ． | FA | 2 a ? c 2 a 3 x2 y2 【变式 1】已知 F 1 和 F 分别是双曲线 ? 2 a2 b2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的两个焦点, A 和 B 是以O 为圆心,以 | OF 1 | 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且?F 2 333?1 3 3 3 AB 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 ( ). 2 ?1 C. ? 1 D. 2 【答案】C 考点：双曲线的简单性质 x2 【变式 2】双曲线 a2 y 2 b2 ? 1（ a ? 0 ， b ? 0 ）的左右焦点分别为F 、 1 F ，过 2 F 的直线与双曲线的右 2 支交于 A 、 B 两点，若?F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2 ? （ ） A. 1? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 【答案】C 考点：双曲线的定义. x2 y2 【变式 3】已知双曲线 － ＝1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F (－c,0)，F (c,0)，若双曲线上存在点 P 使 a2 b2 1 2 a ＝ c ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） sin∠PF F sin∠PF F A．(1， 2＋ A．(1， 2＋1) B． (1， 3) C．( 3，＋∞) D．( 2＋1，＋∞) 【答案】A 【变式4】若双曲线 x2 a2 y2 b2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 上存在一点P 满足以| OP | 为边长的正方形的面积等于2ab（其 中 O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． (1, 5 ] B． (1, 7 ] C．[ 5 , ??) D．[ 7 , ??) 2 2 2 2 【答案】C 【变式 5】如图， F 、 F x 2 是双曲线 y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点，过F 的直线l 与双曲线的左 1 2 a 2 b 2 1 2右两支分别交于点 A 、 B .若?ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为 D. 3B. 7 D. 3 B. 7 C. 3 【答案】B 【变式 6】若椭圆经过点?2,3 ?，且焦点为 F（? 2，0），F（2，0），则这个椭圆的离心率等于 ． 1 2 1 【答案】 2 【解析】 试题分析： PF PF ? 8 ? 2a ，所以a ? 4 ， c ? 2 ，离心率e ? c ? . 11 2 a 2 1 考点：椭圆的定义和性质  uuur uuur uuur uuur 【变式 7】如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , 3AE ? 2EC .一双曲线经过C , D , E 三点,且以 A , B 为焦点,则该双曲线离心率是 . 【答案】 7 【变式 8】过双曲线 x2 a2 y2 b2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)( c ? 0) 作圆 x2 ? y2 uuur 1 uuur uuur ? a2 的切线，切点为E， 延长 FE 交抛物线 y2 ? 4cx 于点 P，O 为坐标原点，若OE ? (OF ? OP) ，则双曲线的离心率为 . 2 1? 1? 5 2 方法 2 方程法 解题模板：第一步 设出相关未知量； 第二步 根据题目条件列出关于a, b, c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率. x2 例 2.