公开课教案导数求导法则改.docx

名师精编 优秀教案 名师精编 优秀教案 课 题：函数的和、差、积、商的导数 南京市江宁中等专业学校 许华奇 2011、11、24 教学目的： 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数． 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 理解商的导数法则，并能进行运用. 能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：函数的和、差、积、商的导数公式及简单应用教学难点：综合运用各种法则求函数的导数 授课类型：新授课课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入： 求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法： 求函数的改变量?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ?y 求平均变化率 ? f (x ? ?x) ? f (x) ?x ?x 取极限，得导数 y / ＝ f ?(x) ? lim ?y ?x?0 ?x 常见函数的导数公式： C ? 0 ； (xn ) ? nxn?1 ； (sin x) ? cos x ； (cos x) ? ?sin x 二、讲解新课： 法则 1 两个可导函数的和 (或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差)，即 (u ? v) ? u ? v 证明：令 y ? f (x) ? u(x) ? v(x) ， ?y ? [u(x ? ?x) ? v(x ? ?x)] ? [u(x) ? v(x)] ? [u(x ? ?x) ? u(x)] ? [v(x ? ?x) ? v(x)] ? ?u ? ?v ， ∴ ?y ? ?u ? ?v ， ?x ?x ?x lim ?y ?x ? lim? ?u ??x ? ? ?v ? ? lim ??x ? ?u ? lim ?v ?x ?x ?x?0 ?x?0? ? ?x?0 ?x?0 即 [u(x) ? v(x)] ? u (x) ? v (x)． 法则 2 两个可导函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv) ? u v ? uv 法则 3 两个可导函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分 ? u ? v子的积，再除以分母的平方，即 ? ? v ? ? ? u v ? uv v2 (v ? 0) 说明:⑴ (uv) ? u v， (uv) ? u?v ； ⑵∵ (Cu) ? Cu ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu ? ? ?， u ? u ? (3) ? ? u ? u ? ? u v ? uv ； ? v ? v ? v ? v 2 (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． 1 1 例如，设 f(x)=sinx+ 、g(x)=cosx－ ，则 f(x)、g(x)在 x=0 处均不可导，但它们 x x 的和 f(x)+g(x)=sinx+cosx 在 x=0 处可导 (5)(u+v-w)′=u′+v′- w′ (uvw)′=u′vw+uv′w+uv w′ 三、讲解范例： 例 1 求 y=x4－x2－x+3 的导数. 解：y′=(x4－x2－x+3)′=(x4)′－(x2)′－x′+3′=4x3－2x－1，例 2 求 y ? (2x2 ? 3)(3x ? 2) 的导数． 解： y ? (2x 2 ? 3)(3x ? 2) ? (2x 2 ? 3)(3x ? 2) ? 4x(3x ? 2) ? (2x 2 ? 3) ? 3 ? 18x 2 ? 8x ? 9 例 3 y=3x2+xcosx，求导数y′. 解：y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′ =3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx x 2 例 4 求 y= sin x 的导数. 分析: 这题可以直接利用商的导数法则. ?x 2 (x2 )?sin x ? x2 (sin x)? ? y 2x sin x ? x2 cos x 解： ′=( )′= sin x (sin x)2 sin 2 x 例 5 求 y=cotx 的导数. 解：y′=(cotx)′=( cos x )′ ?  (cos x)?sin x ? cos x(sin x)? sin x (sin x)2 sin x ?sin x ? cos x ?cos x 1 ? ? ? ? ? csc2 x sin 2 x sin 2 x 例 6 求 y= x ? 3 在点x=3 处的导数. x 2 ? 3 )′分析: 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则. )′ x ? 3 y ? (x ? 3)?(x2 ?