有限元分析方法第三章平面问题的三角形单元PPT课件.ppt

第三章平面问题的有限元法三角形单元12021 第三章 平面问题的有限元法-三角形单元3.1 离散化3.2 三结点单元位移模式3.3 用结点位移表示单元应变3.4 用结点位移表示单元应力3.5 单元刚度矩阵3.6 单元刚度矩阵的性质3.7 外力等效移置到结点3.8 两个单元的结构22021 3.1 离散化（一）离散化将平面域Ω划分为有限个小单元，每个单元用单元结点相连接，把无限个自由度的连续体变为通过有限个结点联结起来的“单元组合体”，使问题转变成有限个结点上有限个未知量问题。32021 3.1 离散化42021 3.1 离散化（二）离散化过程建立坐标系选择单元类型划分网格单元和结点编号，给出结点坐标在结点上施加载荷及位移约束52021 3.1 离散化（二）离散化过程单元类型62021 3.1 离散化（三）离散化应注意的问题1、单元精度问题，复杂的单元计算精度高2、单元尺寸问题，合理确定单元尺寸3、集中力的作用点及分布力的突变点最好选在结点处4、区分厚度变化和物性变化5、单元形状问题，以内角60°为宜72021 3.2 三结点单元的位移模式(xj, yj)umvm(xm,ym)(xi, yi)mijxyOuiujvivjv(x,y)u(x,y)（一）三结点单元82021 3.2 三结点单元的位移模式（一）三结点单元i结点坐标为（xi，yi）i结点位移为j结点坐标为（xj，yj）j结点位移为m结点坐标为（xm，ym）m结点位移为92021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数 以平面逼近曲面的想法，设单元内任一点的位移是x，y的线性函数，即真实位移分布近似位移分布102021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数 将i，j，m三个结点的水平位移分量和结点坐标分别代入上式中的第一式，可以得到：112021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数写成矩阵形式，有：122021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数将矩阵C求逆，可将待定的中间参量α1，α2，α3用节点位移ui等表示出来，即132021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数 A是三角形单元ijm的面积。只要i，j，m三点彼此不重合则A不等于0；当i，j，m呈逆时针排列时|C|0。由线性代数142021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数152021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数162021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数172021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数同理，从三个结点的y方向位移vi，vj，vm得出单元内任一点的y方向位移 三个形函数Ni，Nj，Nm与u的完全相同182021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数单元内任一点的位移矢量可记为192021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数单元结点位移列阵202021 3.2 三结点单元的位移模式（二）形函数单元形函数矩阵单元内任一点的位移矢量可简写为212021 3.2 三结点单元的位移模式（三）形函数的性质（1）形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零；即 222021 3.2 三结点单元的位移模式（三）形函数的性质（2）在单元内任一点三个形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1。232021 3.2 三结点单元的位移模式（三）形函数的性质由形函数的性质1和性质2及与坐标的线性关系在三角形ijm的形心有在ij及im两边的中点有在单元ijm面积上积分有在单元ijm的ij边上积分有242021 3.2 三结点单元的位移模式（三）形函数的性质（3）三角形单元ijm在ij边上的形函数与第三个结点的坐标无关。252021 3.3 用结点位移表示单元应变（一）几何矩阵Be 262021 3.3 用结点位移表示单元应变（一）几何矩阵Be 272021 3.3 用结点位移表示单元应变（一）几何矩阵Be 282021 3.3 用结点位移表示单元应变（一）几何矩阵Be 292021 3.3 用结点位移表示单元应变（二）Be的作用表示l点位移对单元应变的贡献率，一旦单元确定，Be也就确定了，此时单元内的应变仅依赖于结点位移。Be中所有元素与坐标x，y无关，说明单元内应变是常数，且各点应变均相同。因此称这种三结点单元为常应变单元。302021 3.4 用结点位移表示单元应力（一）矩阵Se 312021 3.4 用结点位移表示单元应力（一）矩阵Se 1、平面应力问题322021 3.4 用结点位移表示单元应力（一）矩阵Se 2、平面应变问题332021 3.4 用结点位移表示单元应力（二）Se的作用表示l点位移对单元应力的贡献率，一旦单元确定，Se也就确定了，此时单元内的应力仅依赖于结点位移。Se中所有元素都是常数，σe的三个分量也是常数，与坐标x，y无关，因此