高等数学同济第七版7版下册习题 全解.docx

y

y

2

D

2

-1

O

i

T

-2

图 10- 1

数，故

/,= Jj(x2

fh

+y1)

3d(j= 2jj( x2

i)i

+y1)

3dcr.

D又由于 关于;t轴对称，被积函数(/+2)3关于y是偶函数，故jj(x2

D

3 r

+ j2) 3dcr= 2j( x2

+ y2)3

da= 2/.

2

从而得

Dy 1

)：

/,=4/ .

2

(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：

如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,)关于y是奇函数，即fix,-y) =

y

-f(x,y) ,PJ

jf/(x,y)da= 0；

D

如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即

/( ~x,y) = -/(太，y)，则

D

?3.利用二重积分定义证明：

=0.

(1) jjda=

(其中(7为的面积)；

IJ

(2) JJ/c/( X,y) drr= Aj|y’( A:，y) do■(其中 A：为常数)；

o n

,

(3)JJ/(x,y)clcr =JJ/(x,y)drr +jJ/(x,y)dcr

其中/)=/)!U/)， ，

2A为两个

2

b\ lh

尤公共内点的WK域.

证(丨)由于被枳函数./U,y) =

n

1

,故山二t积分定义得

jjltr

=

Hm

y^/(,rji)

=lim cr

=

Ar,=lim^Ac,

a.

A—0

(2)Ji/( x,j) (Ic7=nlim^

i) 1

n

=A lim y/(^

(

,i7, )A(7-,= k

\\f{x,y)Aa.

A-°台 ?{!

(3) 因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把￡?怎样分割，积分和的极限

总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/) 的公共边界永远是一条分割线.这样

2

在AUD

2

上的积分和就等于上的积分和加D

2

上的积分和，记为

^/(^,,17,)ACT,=^/(^, ,17,)ACT,+^/(^,,17,)ACT,.

/)U0, , l)

( ：

令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得 J

f(x,y)i\a = jjf(x,y)da+ JJ/(xy)

f

da.

p,un} V, n；

Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2

I)

2)d?l达到最大值.

y y

解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 - V2大于

等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当￡?是椭圆2/+ y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

(1) Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A

D I)

所围成；

(2) J(x+)2如与■，其中积分区域 0是由圆周(.r-2)2

7

t) n

所围成；

.、=

+

+(.v-l)2=

( 3 ) IMA； + y) (lor与![ In( X+ y) ] 2(1(7，其中Z＞是三角形闭

K域，三顶点分别为

l)

(1，0)，(1，1)，(2,0);

(4) Jpn(:r+ y) dcr与 In(:t+ y) ]

，0彡、彡 1.

i) i)

2fW，其中 /) = | (.r,.v) | 3

解(1)在积分K域0上 ， 故 有

(x+j)根据二重积分的性质4，可得

3^ (x+y) 2.

J(.r+y)\lrx^J(.\+v)

0 D

(2) 由于积分区域 0位于半平面| (A:，V)|.V+?、彡11 内，故在

/)|: (.f+y) 2彡(A+y) 3?从『(? J(v+ ＞)：drr^jj(x +y)\l fr.

(3) 由于积分区域D位于条形区域1 U，y) |