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一类五阶非线性发展方程的新显示式周期解
非线性方程广泛应用于许多科学领域（尤其是物理）的复杂现象。为了准确理解非线性方程的解，提出了许多有效方法，如反散射方法、双曲函数法、jacobi椭圆函数开方法等（见文）。在本文中，我们获得了一种五位数的新表示方程的新表示方程。在这项工作中，我们考虑了以下五个非线性方程的发展方程。
ut+αu2ux-βuxuxx-γuuxxx+suxxxxx=0,(1)ut+αu2ux?βuxuxx?γuuxxx+suxxxxx=0,(1)
其中,α,β,γ为常数,s=±1.方程(1)是许多类似方程的一般形式.当s=1,α=30,β=20,γ=10时,方程(1)是五阶KdV方程.当s=1,α=45,β=15,γ=15,方程(1)是Sawada-Kotera(SK)方程.当s=-1,α=-20,β=25,γ=10,方程(1)是Kaup-Kupershmidt(KK)方程.当s=-1,α=-54,β=52,γ=52s=?1,α=?54,β=52,γ=52,方程(1)是Caudrey-Dodd-
Gibbon-Sawada-Kotera(CDGSK)方程.
在文中,给出了方程(1)的孤波解以及用三角函数表示的周期解.但至今为止并不知道方程(1)的用各种Jacobi椭圆函数表示的周期解.本文通过构造辅助微分方程,用Jacobi椭圆函数表示了方程(1)的周期解.在极限情形,得到了方程(1)的孤波解和三角函数解,推广了文中的结果.
1转化a0求解化
为了求方程(1)的行波解,作变换
u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x-ct),(2)u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x?ct),(2)
其中,k,c是常数.把(2)式代入方程(1)并关于ξ积分一次,得
sk4uξξξξ-γk4uuξξ+12(γ-β)k2u2ξ+α3u3-cu+d=0,(3)sk4uξξξξ?γk4uuξξ+12(γ?β)k2u2ξ+α3u3?cu+d=0,(3)
其中d是积分常数.
设u(ξ)可以表为函数?(ξ)的有限幂级数
u(ξ)=n∑i=0ai?i(ξ),(4)u(ξ)=∑i=0nai?i(ξ),(4)
而?(ξ)满足如下辅助方程
?2ξ=c0+λ?2+μ2?4,(5)?2ξ=c0+λ?2+μ2?4,(5)
其中ai(i=0,1,…,n)是待定的常数,c0,λ,μ为常数.为了平衡方程(3)中最高阶导数项uξξξξ和非线性项uuξξ,在(4)式中取n=2.于是,(4)式成为
u(ξ)=a0+a1?(ξ)+a2?2(ξ).(6)u(ξ)=a0+a1?(ξ)+a2?2(ξ).(6)
把(6)式代入方程(3)并同时利用(5)式,得到
f0+f1?+f2?2+f3?3+f4?4+f5?5+f6?6=0,(7)f0+f1?+f2?2+f3?3+f4?4+f5?5+f6?6=0,(7)
其中
f0=8sk4λc0a2-2γk2c0a0a2+12(γ-β)k2c0a21+13αa30-ca0+d,f1=sk4(λ2+6μc0)a1-γk2λa0a1-2βk2c0a1a2+αa20a1-ca1,f2=4sk4(4λ2+9μc0)a2-γk2λ(4a0a2+12a21)-12βk2(λa21+4c0a22)+α(a20a2+a0a21)-ca2,f3=10sk4λμa1-γk2(μa0a1+3λa1a2)-2βk2λa1a2+13α(6a0a1a2+a31),f4=60sk4λμa2-γk2(3μa0a2+34μa21+2λa22)-14βk2(μa21+8λa22)+α(a21a2+a0a22),f5=6sk4μ2a1-3γk2μa1a2-βk2μa1a2+αa1a22,f6=30sk4μ2a2-2γk2μa22-βk2μa22+13αa32.f0=8sk4λc0a2?2γk2c0a0a2+12(γ?β)k2c0a21+13αa30?ca0+d,f1=sk4(λ2+6μc0)a1?γk2λa0a1?2βk2c0a1a2+αa20a1?ca1,f2=4sk4(4λ2+9μc0)a2?γk2λ(4a0a2+12a21)?12βk2(λa21+4c0a22)+α(a20a2+a0a21)?ca2,f3=10sk4λμa1?γk2(μa0a1+3λa1a2)?2βk2λa1a2+13α(6a0a1a2+a31),f4=60sk4λμa2?γk2(3μa0a2+34μa21+2λa22)?14βk2(μa21+8λa22)+α(a21a2+a0a22),f5=6sk4μ2a1?3γk2μa1a2?βk2μa1a2+αa1a22,f6=30sk4μ2a2?2γk2μa22?βk2μa22+13αa32.
注意到1,?,?2,…,?6是线性独立的,(7)式成立当且仅当fi=0
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