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一类微分系统的高次关键点与极限环分支问题

1高次表面应用系统

多段差分系统的焦点定量计算和中心焦点评价是微分方程定性理论的经典，仍然是一个充满活力的领域。对于初始值的各种结论，可以参考文献。近年来,一些学者对如下的

{dxdt=-y(x2+y2)n+∞∑k=2n+2Xk(x,y)dydt=x(x2+y2)n+∞∑k=2n+2Yk(x,y)

(其中Xk(x,y),Yk(x,y)是x,y的齐次多项式)原点是高次奇点的微分系统进行了研究,但是研究成果还比较少。本文运用间接方法研究了如下一类实五次多项式系统:

{dxdt=(δx-y)(x2+y2)+A40(x4+y4-6x2y2)+4B40(x3y-xy3)+A50x5+A41x4y+A32x3y2+A23x2y3+A14xy4+A05y5dydt=(δy+x)(x2+y2)+B40(y4+x4-6x2y2)+4A40(y3x-yx3)+B50y5+B41y4x+B32y3x2+B23y2x3+B14yx4+B05x5?(1)

原点的中心条件和极限环分支.首先给出一个变换将高次奇点转化成初等奇点,再通过奇点量的计算得出了系统在原点的前45阶焦点量,解决了该系统原点的中心焦点判断问题,并证明了在原点可以分支出7个极限环。

2s13+ia323+3ga3+b0

系统(1)通过复系数线性变换

z=x+yi,w=x-yi,t=iτ,i=√-1(2)

转化为它的伴随复自治系统

dzdτ=(1-iδ)z2w+a04w4+a50z5+a41z4w+a32z3w2+a23z2w3+a14zw4+a05w5,dwdτ=-[(1+iδ)w2z+b04z4+b50w5+b41w4z+b32w3z2+b23w2z3+b14wz4+b05z5].(3)

其中z、w是复变量,且系数满足如下的关系:

a04=-A40i+B40,a50=132(-A05-iA14+A23+iA32-A41-iA50+B05-iB14-B23+iB32+B41-iB50),a41=132(5A05+3iA14-A23+iA32-3A41-5iA50+5B05-3iB14-B23-iB32-3B41+5iB50)a32=116(-5A05-iA14-A23-iA32-A41-5iA50+5B05-iB14+B23-iB32+B41-5iB50),a23=116(5A05-iA14+A23-iA32+A41-5iA50+5B05+iB14+B23+iB32+B41+5iB50),a14=132(-5A05+3iA14+A23+iA32+3A41-5iA50+5B05+3iB14-B23+iB32-3B41-5iB50),a05=132(A05-iA14-A23+iA32+A41-iA50+B05+iB14-B23-iB32+B41+5iB50),bij=ˉaij,

i+j=4,5.下面仅讨论

a50=qa241,b50=qb241,a14=qb241,b14=qa241,a05=qb341,b05=qa341

的情形,通过变换

z=?z(?z?w)2,w=?w(?z?w)2,dτ=(zw)-1d?Τ

系统(3)变为:

dzdt=(1-iδ)z+[2b04z6+2b05z9w2+(3a05+2b14)z8w3+(3a41+2b23)z7w4+3a04zw5+(3a32+2b32)z6w5+(3a23+2b41)z5w6+(3a14+2b50)z4w7+3a05z3w8]/5(4)

dwdt=-(1+iδ)w-[(2a05w9z2+3b05+2a14)w8z3+3b05w3z8+3b04wz5)]/5+(3b41+2a23)w7z4+(3b32+2a32)w6z5+2a04w6+(3b23+2a41)w5z6+(3a14+2a50)w4z7+3b05w3z8+3b04wz5)]/5

(此处仍然记?z、?w、?Τ为z、w、t).

这样对研究系统(1)在原点性质的研究可以转换为复系统(4)在原点的研究。为了研究系统(1)原点的中心焦点判断,首先计算系统(1)的焦点量,由文献中定义了原点的焦点量与对应伴随系统原点的奇点量之间的关系可知。

引理1对于系统(1)|δ=0和它的共轭系统(3)|δ=0,若μ(m)是原点的第m个奇点量,v2m+1(2π)是系统原点的第m个焦点量,则奇点量与焦点量之间的关系如下:

v2m+1(2π)~iπμm(5)

(记号～表示代数等价,定义见文献)

若v1(2π)≠1,则原点是粗焦点;若v1(2π)=1,v2(2π)=v3(2π)=…v2k(2π)=0,v2k+1(2π)≠0,则原点是k阶细焦点,k=1,2,3,…;若v1(2π)=1,对于任意的正整数k,v2k+1(2π)=0,则原点称为中心。

由此系统(1)|δ