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数列求和及极限
【知识及方法归纳】
1、数列求和主要有以下几种常见方法:(1)公式法;(2)通项转移法;(3)倒序相加法;
(4)裂项相消法;(5)错项消法;(6)猜想、证明(数学归纳法)。
2、能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。
【学法指导】
1、在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式,
n(n1)(2n1)
如:12+22+32+…+n2=;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的
6
数列,可通过对数列通项结构特点的分析研究,将2其分解为若干个易求和的新数列的和、
差;3、将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易
求和,这样的数列常用倒序相加,如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、
利用裂项变换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个
等差数列与一个等比数列相乘而得的数列,其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式
的方法,通过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对S、
1
S、S…进行归纳,分析,寻求规律,猜想出S,然后再用数学归纳法给予证明。
23n
【典型例题】
例1求和:12+32+52+…+(2n1)2
【分析】这是一个通项为(2n1)2的数列求前n项和,对通项公式展开可得:=4n24n1,
a
n
所以对原数列求和分解为3个新数列求和,可用方法2求和。
【简解】2+2+2+…+(2n1)2=(2)+(2)+…+(2)
13541411424214n4n1
2222
=4(++3+…+n)–4·(1+2+3+…+n)+n=4。
12
n(n1)(2n1)n(n1)n(2n1)(2n1)
4n。
623
例2求和:4710…+3n2
1
5251255n1
【分析】这是一个通项为3n2的数列求前n项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列
5n1
与一个等比数列的积,可用方法5求和。
【简解】设=4710…+3n2,则1=14+…+3n53n2,所以
S1S
n5251255n15n5255n15n
1
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