数学建模结课作业.docxVIP

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某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约1471m,高度差为380m。采用循环单线修建，从下站到上站行经8个铁塔，将缆绳分为九段，各段的水平距离用表示，高差用表示，其数据见下表：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?220

200?

140?

120?

100?

?120

?140

?200

220?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?50

45?

?40

?38

34

38?

40?

45?

50?

每一段缆绳垂下来的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处1m。

要求：（1）折线法；

（2）抛物线法，

估计整个索道工程所用的缆绳总长度。

解：

（一）折线法

思路：考虑到实际中工程架线不能过紧，但又为了节省原料，我们采取求出最大折线和最小折线，对两者求取平均值，以得到对缆线总长度的估测。由于八个铁塔分九段，因此此题分两部分考虑：

第一段：直接求出发点到第一个铁塔的距离，即

第二到九段：建立坐标系，运用距离公式求取l的长度。设A（,1）,B(,)得：

，用此公式求最大最小值。

B

B

y

y

A

A

0x

0

x

过程

数学公式：

各段之和即为缆绳总长。

matlab求解

第一段

symsh1d1

h1=50

d1=220

l1=sqrt(d1.^2+h1.^2)

第二段

求最小值

clear

l=sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)

ezplot(l,[0,200]);

[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)

得图形

可得当x=4.2553时，取得最小值205.45

由图形可得当x=200时取得最大值，即

clear

l=sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)

ezplot(l,[0,200]);

[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)

x=200;

lmax=eval(l);

l=(lmin+lmax)/2;

得lmax=246.0025

l=225.7254

第三段到第九段算法与第二段相同，所以结果为

第一段：l1=225.6103

第二到九段分别为:225.7254，163.5839，142.7476，120.6438，142.7476，163.5839，225.7254，248.5321

总长为：1658.9m

抛物线法

思路：参照示意图，因为将绳的形状看做抛物线，为了方便研究，以抛物线的最低点为原点建立抛物线，则每段绳的长度为，最后相加求总长。

此方法分两部分求解

第一段：设最低点即为缆绳出发点，那么第一个塔顶坐标为，代入方程得出抛物线方程后求

第二到九段：设较低铁塔的坐标为,较高铁塔为,将其带入方程得出抛物线方程后求

y

y

x

x

过程：

第一段：求系数a

clear

symsa

x=220

y=51

a=y/x^2

end

a

求得a=0.0011

求长度

clear

symsx

y=0.0011*x^2;

y1=diff(y);

l=int(sqrt(1+y1^2),0,220)

得l=11/25*77141^(1/2)+2500/11*log(2)+7500/11*log(5)-2500/11*log(-121+77141^(1/2))

ans=228.3103

第二段：求抛物线方程

clear

symsta

s=solve(a*t^2-1,a*(200+t)^2-(45+1));

a1=s.a,t1=s.t

得t11=-25.6992a11=0.0015

t12=34.5881a12=8.3588e-004

因为t0,所以选取负值求长度

clear

symsx

y=0.0015*x^2;

f=diff(y);

l=int(sqrt(1+f^2),-25.6992,174.3008)

求得l=207.6709

第三到九段方法与第二段相同。

所以各段结果为228.3103207.6709;148.7615;128.9306;108.8663;128.9306;148.7615;207.6709;229.0426.

总长为1536.9m

二为迎接香港回归，柯受良1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。东岸跑道长265m,柯受良驾车从跑道东端起动到达跑道终端时速度为150km/h,他随即从仰角5度冲出，飞越跨度为57m,安全落到西岸木桥上。问(1)柯受良跨越黄河用了多长时间？（2）若起飞点高出河面10m,柯受良驾车飞行的最高点离河面多少米？（3）西岸木桥桥面与起飞点的高度