2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题(无答案).pdfVIP

2020年马其顿数学奥林克

高中组：

1.已知a,b为正整数p,q为素数,且p不能整除q-1,q|apbp.

求证:q|a-b.

xxxn

2.设实数,,,1,22.



12n

2

证明:xxxxxx

.

12n131n

并证明,当前仅当x,x,,x1,2,,1,2或(2,1,…,2,1)时,上式取等号.



12n

3.△ABC中,三条内角平分线分别与对边BC,CA,AB交于点A,B,C.过A,B,C三点的Ω恰与

111111

BC切于点A,与AC和AB分别再次相交于点B,C.证明:|AB|=|AC|或|AC|=|AB|.

12212

4.设S为一个非空的有限集合,F为S的一些子集的集合,且满足:

(i)F\{S}=;

(ii)若F,F∈F,则F∩F∈F，F∪F∈F.

121212

证明:存在a∈S,且它最多属于F中的一半元素.

初中组:

1.设S为所有满足n+1,n+3,n+4,n+5,n+6,n+8均为合数的正整数n组成的集合.

求最大的正整数,使得对任意n∈S,集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,n+8,n+9}中一定存在

个连续的合数.

2.正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27.证明x+y+z≥3xyz并求取等条件.

x523101y

3.在整数范围内解方程.

4.等腰△ABC中,AB＝BC.在AC和BC上分别取点D,E,使得CD＝DE.设H,J,K分别为DE,AE,BD

中点,过D,H,K的与AD交于F,过E,H,J的与BE交于G.过K作AC平行线与AB交于点I.证

明IH,GF,JK共点.

5.设三角形T的所有顶点坐标均为整数,且它的三条边上恰好各有m个整点.若T的面积小于2020,

求m可能的最大值.