新高考“九省联考”19题压轴题汇编 解析版.pdf

新高考“九省联考”19题压轴题汇编

一、集合新定义

1(2023下·北京·高一校考开学考试)给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=

a-b∣a､b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中



所有元素绝对值之和.

(1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5哪个是规范数集，并说明理由；



(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS+maxS≥n-



1；

(3)当S=a,a,⋯,a遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.

122023

注：minX、maxX分别表示数集X中的最小数与最大数.



【答案】(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集；

(2)证明见详解；

(3)1012×1011.

【分析】(1)根据n元规范数集的定义，只需判断集合A,B中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于

等于1即可；

(2)利用n元规范数集的定义，得到x-x≥1，从而分类讨论x≥0、x≤0与x0,x0三种情况，结

i+1i1n1n

合去绝对值的方法即可证明；

(3)法一：当a≥0时，证得a≥n-1+a，从而得到f≥1011×2023；当a≤0时，证得-a≥2023

1n12023n

-n-a，从而得到f≥1011×2023；当a0≤a时，分类讨论m≤1011与m≥1012两种情况，推

2023mm+1

得f≥1012×1011，由此得解；

法二：利用规范数集的性质与(2)中结论即可得解.

【详解】(1)对于集合A：因为2.5-2=0.51，所以集合A不是规范数集；

对于集合B：因为B=-1.5,-0.5,0.5,1.5，

又-1.5-(-0.5)=1，-1.5-0.5=2，-1.5-1.5=3，-0.5-0.5=1，-0.5-1.5=2，0.5-1.5

=1，

所以B相伴数集T=1,2,3，即minT=1，故集合B是规范数集.



(2)不妨设集合S中的元素为xx⋯x，即minS=x,maxS=x，

12n1n

因为S为规范数集，则∀Ni∈,1≤i≤n-1，则x-x≥1，且∃iN∈,1≤i≤n-1，使得x-x=1，∗∗

i+1i00