424918比例线段及黄金分割（提高） 知识讲解[001].doc

专注：心无旁骛，万事可破

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相似形和比例线段（提高）知识讲解

责编：常春芳

【学习目标】

1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；

2、会运用比例线段解决简单的实际问题；

3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.

【要点梳理】

要点一、比例线段

【高清课堂：394495图形的相似预备知识】

1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例的性质：

（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；

（2）合比性质：如果

如果

（3）等比性质：如果

（4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．

要点诠释：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

要点四、黄金分割

1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

要点诠释：

≈0.618AB(叫做黄金分割值).

2.作一条线段的黄金分割点：

图4－7

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点诠释：

一条线段的黄金分割点有两个.

【典型例题】

类型一、比例线段

1.求证：如果，那么.

【答案与解析】∵，

在等式两边同加上1，

∴，

∴．

∴．

【总结升华】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明.

举一反三：

【高清课堂：394495图形的相似预备知识练习2】

【变式】（春?扶沟县期中）若=，则=（）.

A.B.C.D.无法确定

【答案】C.

2.已知：．求k值．

【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.

【答案与解析】①当a+b+c=0时，

b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，

∴k为其中任何一个比值，即k==-1;

②a+b+c≠0时，

k=．

∴k=-1或.

【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．

类型二、黄金分割

3.宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.

【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,

又∵,∴，

即点F是AD的黄金分割点，

∴,即

∴，即，

∴矩形CDEF是黄金矩形.

【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.

4.（春?南京校级月考）（1）已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长；

（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．

【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；

（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意线段不能为负．．

【答案与解析】

解：（1）∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，

∴AC=10×=15﹣5（cm）；

（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，

∴c2=ab=36，

解得c=±6，

又∵线段是正数，

∴c=6cm．

【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．

举一反三：

【变式】（?章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）

A.B.C.