2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲 单调性问题（讲义）（原卷版+解析）.docxVIP

第02讲单调性问题

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．

（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

2022年甲卷第12题，5分

2022年I卷第7题，5分

2021年浙江卷第7题，5分

高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

2、已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；

（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．

注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：

单调递增；单调递增；

单调递减；单调递减．

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【例1】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（????）

A． B．

C． D．

【对点训练1】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是

A．函数的增区间是

B．函数的增区间是

C．是函数的极小值点

D．是函数的极小值点

【对点训练2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（????）

A． B．

C． D．

【对点训练3】（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【解题方法总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．

题型二：求单调区间

【例2】（2023·江西鹰