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第03讲等比数列及其前n项和
目录
考点要求
考题统计
考情分析
(1)理解等比数列的概念.
(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)了解等比数列与指数函数的关系.
2023年甲卷(理)第5题,5分
2023年II卷第8题,5分
2023年乙卷(理)第15题,5分
高考对等比数列的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)选择题、填空题多单独考查基本量的计算;(2)解答题多与等差数列结合考查,或结合实际问题或其他知识考查.
知识点一.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,定义的表达式为.
(2)等比中项:如果,,成等比数列,那么叫做与的等比中项.
即是与的等比中项?,,成等比数列?.
知识点二.等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列的首项为,公比为,则它的通项公式.
推广形式:
(2)等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为,其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式,在求等比数列的前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比是否为1时,要分与两种情况讨论求解.
②已知(项数),则利用求解;已知,则利用求解.
③,为关于的指数型函数,且系数与常数互为相反数.
知识点三.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则:
①等间距抽取
为等比数列,公比为.
②等长度截取
为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
【解题方法总结】
(1)若,则.
(2)若,(项数相同)是等比数列,则,,,,仍是等比数列.
(3)在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为
等比数列,公比为.
(4)公比不为-1的等比数列的前项和为,则,,仍成等比数列,其公比为.
(5)为等比数列,若,则成等比数列.
(6)当,时,是成等比数列的充要条件,此时.
(7)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间
项的平方.
(8)若为正项等比数列,则为等差数列.
(9)若为等差数列,则为等比数列.
(10)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
题型一:等比数列的基本运算
例1.(2023·北京·高三汇文中学校考阶段练习)在等比数列中,,,则等于(????)
A.9 B.72 C.9或70 D.9或
例2.(2023·全国·高三专题练习)已知递增的等比数列中,前3项的和为7,前3项的积为8,则的值为(????)
A.2 B.4 C.6 D.8
例3.(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测)已知等比数列的前n项和为,公比为q,且,则(????)
A. B. C. D.
变式1.(2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)在等比数列中,若,,则公比q应为(????)
A. B. C. D.-2
变式2.(2023·全国·高三专题练习)设等比数列的各项均为正数,前n项和,若,,则(????)
A. B. C.15 D.40
变式3.(2023·全国·高三对口高考)已知数列是等比数列,,则该数列的以及依次为(????)
A.682, B., C.682,或 D.,或
变式4.(2023·江西抚州·统考模拟预测)已知正项等比数列{}的前n项和为,若,则=(????)
A.64 B.81 C.128 D.192
变式5.(2023·江西·校联考模拟预测)已知等比数列的前4项和为,,则(????)
A. B. C.1 D.2
【解题方法总结】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量,,,,,
一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论:
当时,;当时,.
题型二:等比数列的判定与证明
例4.(2023·全国·高三专题练习)甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10%,20%的某种溶液500ml,同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液,将其倒入对方的容器并搅匀,这称为一次调和.记,,经次调和后,甲、乙两个容器的溶液浓度分别为,.
(1)试用,表示,.
(2)证明:数列是等比数列,并求出,的通项.
例5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,其中为的前n项和.证明:
(1)是等比数列.
(2).
例
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