2024年中考数学复习几何专题--“角平分线”结构模型.docxVIP

“角平分线”结构模型

结构模型

1.如图1,OP平分∠AOB,C为OP上一点,CD平行OB交OA于点D.如图2,OP平分∠AOB,C为OA上一点,CD平行OP交OB的反向延长线于点D.图1、图2统称为“角平分线+平行线”结构模型.

2.如图3,OP平分∠AOB,C为OP上一点,D为OA上一点,这称为“角平分线+截线”结构模型，CD称为截线.

3.如图4,OP平分∠AOB,C为OP上一点,CD垂直OA于点D,这称为“角平分线+外垂线”结构模型.

4.如图5,OP平分∠AOB,C为OP上一点,DC垂直OP于点C,这称为“角平分线+内垂线”结构模型.第三章线037

第三章

线

037

解题策略

1.在“角平分线+平行线”结构模型中，△OCD为等腰三角形.

理由:如图1,因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP.又因为CD∥OB,所以∠OCD=∠BOC,所以∠OCD=∠DOC,所以OD=CD,所以△OCD为等腰三角形.

如图2,因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP.又因为CD∥OP,所以∠CDO=∠BOP,∠DCO=∠AOP,所以∠CDO=∠DCO,所以OD=OC,所以△OCD为等腰三角形.

“角平分线+平行线”结构模型结论的证明过程就是解决问题的过程，因此参考其结论的证明过程就能得到解决问题的思路和策略.

2.在“角平分线+截线”模型中截线CD不具备特殊位置时，解决问题的策略大都是在OB上截取OE=OD，连接CE即可.如图3，此时有△OCD≌△OCE，再利用相关性质解决问题.

3.在“角平分线+外垂线”模型中，解决问题的策略大都是过点C作CE⊥OB于点E.如图4,此时有CD=CE,△OCD≌△OCE,再利用相关性质解决问题.

4.在“角平分线+内垂线”模型中，解决问题的策略大都是延长DC交OB于点E.如图5，此时有△ODE是等腰三角形、OC为三线合一等，再利用相关性质解决问题.

综上所述，可巧记为：角平分线平行线，等腰三角形呈现；角平分线遇截线，构造全等是关键；角平分线加外垂，要向边上作垂线；角平分线有内垂，构造等腰试试看.

模型示例

【典例1】如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD.

点拨:(方法一)作EF∥AB,如图1.由AB∥EF∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,可知符合“角平分线+平行线”结构模型.证明△BEF与△CEF均为等腰三角形以及EF为梯形ABCD的中位线.

(方法二)如图2，已知AB∥CD，又BE平分∠ABC，符合“角平分线+平行线”结构模型.延长BE交CD的延长线于点G.证明△BCG为等腰三角形以及.△

【自主解答】

【典例2】如图,过△ABC的边BC的中点D作∠BAC的平分线AG的平行线,交AB,BC及CA的延长线于点E,D,F.求证:BE=CF.

点拨:如图,已知AG平分∠BAC,DF∥AG，符合“角平分线+平行线”结构模型.证明△AEF为等腰三角形，再过点C作CH∥AB交ED延长线于点H,证明△BDE≌△CDH.

【自主解答】

【典例3】(烟台)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(点E在BC上,点F在AC上)折叠,点C与点

点拨:如图,连接OB,OC,OB与OC为截线.已知AO平分∠BAC，符合“角平分线+截线”模型.证明△ABO≌△ACO,求出∠OCB的度数.

【自主解答】

【典例4】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交AC于点D,延长BD到点E,使BD=2DE,连接AE.

(1)求线段CD的长;

(2)求△ADE的面积.

点拨:已知BD平分∠ABC,DC⊥BC,符合“角平分线+外垂线”模型.如图，过点D作DH⊥AB于点H.(1)利用sin∠BAC=HDAD=BC

【自主解答】

【典例5】如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,BE⊥AD于点E.求证:AC-AB=2BE.

点拨:已知AD平分∠BAC,BE⊥AD，符合“角平分线+内垂线”结构模型.如图,延长BE交AC于点F.证明△ABF与△FBC均为等腰三角形.

【自主解答】

学以致用

1.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,则△AEF的周长为.

2.(内江)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠B