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勾股定理常用模型与计算专题练习

专题一勾股模型(一)勾股树

典例精讲

【例】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是()

A.18cm2B.36cm2C

针对训练

1.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S?，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为(S2,?,，按照此规律继续下去，则S?

A.126B.1

2.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()

A.1B.2021C.2022D.2023

专题二勾股模型(二)赵爽弦图

典例精讲

【例】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题：

(1)试说明a

(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b

针对训练

1.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则ab的值是()

A.4B.6C.8D.10

2.如图1，一个直角三角形的两直角边长分别为a，b(b≥a)，斜边长(c=5,，将4个与图1全等的直角三角形围成图2所示的正方形

(1)若ab=8，求图2中的小正方形的边长；

(2)利用图2,求ab的最大值.

专题三勾股模型(三)斜边高图

典例精讲

【例】如图,在Rt△ABC中,.∠ACB=90°,CD

(1)若AC=4,AB=5,求BC,CD,AD,DB的长;

(2)若AD=4,CD=3,求AC,BC,BD的长;

(3)若AD=165,BC

针对训练

1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=4,BD=9,4,BD=9,求CA和

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.

(1)若AD=2,CD=4,求BC,BD的长;

(2)若AD=2,BD=8,求AC,BC的长;

(3)若AD=2,BC=45

专题四勾股定理与方程(一)列方程解决实际问题

典例精讲

【例】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺(1丈=10尺)?

针对训练

1.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几.”(注：1步=5尺).译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长.”

2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=8m.若梯子的顶端沿墙面向下滑动2m，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2m，求梯子AB的长度.

专题五勾股定理与方程(二)列方程解折叠问题

典例精讲

【例】如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的点F处，折痕为DE.已知AB=AC,FD⊥BC.

(1)求证:∠AFE=90°;

(2)如果AF=3,BF=6,求AE的长.

针对训练

1.如图,已知长方形纸片ABCD中,AAB=3cm,AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点B与点D重合,折痕为

A.3cm2B.4cm2C.6cm2

2.如图，折叠一张三角形纸片ABC，使点