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篇一平行线中的几何模型

模型一“猪蹄模型”

若a∥b,则∠2=∠1+∠3

证明：

如图所示,过点O作ON∥a,则∠MON=∠l

∵a∥b,ON∥a

∴ON//b

∴∠NOQ=∠3

∵∠2=∠MON+∠NOQ

∴∠2=∠1+∠3

模型二“铅笔模型”

若a∥b,则∠1+∠2+∠3=360°

证明：

如图所示,过点O作ON∥a,则∠MON+∠1=180°

∵a∥b,ON∥a

∴ON//b

∴∠NOQ+∠3=180°

∵∠2=∠MON+∠NOQ

∴∠1+∠2+∠3=360°

模型三“靴子模型”

若a∥b,则∠1=∠2+∠3

证明：

如图所示,过点O作ON∥a,则∠MON+∠1=180°

∵a∥b,ON∥a

∴ON//b

∴∠NOQ+∠3=180°

∵∠NOQ=∠MON+∠2

∴∠MON+∠2+∠3=180°

∴∠1=∠2+∠3

模型四“尖尖角模型”

若a∥b,则∠3=∠1+∠2

证明：

如图所示,过点O作ON∥a,则∠MON+∠1=180°

∵a∥b,ON∥a

∴ON//b

∴∠NOQ+∠3=180°

∵∠MON=∠NOQ+∠2

∴∠NOQ+∠2+∠1=180°

∴∠3=∠1+∠2

公众号·金思维数学

篇一平行线中的几何模型

模型五“左右角模型”

若a∥b,则.∠B?+∠B?+……+∠B???+∠B?=∠M+∠A?+∠A?+……+∠A???+∠N

证明：

如图所示,分别过点A?、A?……An-1作直线a的平行线l?、l?……l,_?,且l?、l?……ln-1,将∠A?、∠A?……∠A???分别分为∠α?、∠β?,∠α?、∠β?,……∠αn-?、∠βn_?

由题意可知:a//l?//l?……//l???//b

∵a∥l?,∴∠B?=∠M+∠α?(猪蹄模型的结论)

∵l?//l?,∴∠B?=∠β?+∠α?……

∵ln??//b,∴∠Bn=∠βn??+∠N

上述等式左右两边分别加和可得：

∠B?+∠B?+……+∠B???+∠B?=∠M+∠A?+∠A?+……+∠A???+∠N

模型六“橡皮擦模型”

若a∥b,则.∠M+∠A?+∠A?+……+∠A???+∠N=180°?n

证明：

如图所示,分别过点A?、A?……An??作直线a的平行线l?、l?……l,??,且l?、l?……ln??将∠A?、∠A?……∠A???分别分为∠α?、∠β?,∠α?、∠β?,……∠α???、∠βn??

由题意可知:a//l?//l?……//ln_?//b

∵a//l?,∴∠M+∠α?=180°

∵l?//l?,∴∠β?+∠α?=180°……

∵ln??//b,∴∠β???+∠N=180°

上述等式左右两边分别加和可得：∠M+∠A?+∠A?+……+∠A???+∠N=180°?n

【总结】平行线辅助线作法——过拐点作平行.

公众号·金思维数学

篇二三角形中的几何模型

模型一“8字”模型

结论：①∠A+∠B=∠C+∠D②AD+BCAB+CD

证明：

①∵∠BOD是△ABO和三角形△COD的外角

∴∠BOD=∠A+∠B=∠C+∠D

∴∠A+∠B=∠C+∠D

②∵在△ABO中,OA+OBAB在△COD中,OC+ODCD∴OA+OB+OC+ODAB+CD即AD+BCAB+CD

模型二飞镖模型

结论:①∠D=∠A+∠B+∠C②AB+ACBD+CD

证明:如图,延长BD交AC于点E

①根据三角形的外角性质：

∠BEC=∠A+∠B,

∠BDC=∠BEC+∠C,

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

②根据三角形两边之和大于第三边：

AB+AEBD+DE,DE+ECCD

∴AB+AE+DE+ECBD+DE+CD

∴AB+ACBD+CD

篇二三角形中的几何模型

模型三“角平分线+飞镖”模型

内内飞镖

BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则：∠A

证明：

根据飞镖模型的结论可知：

∠P=∠A+∠ABP+∠ACP

∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠ABP+∠ACP

=

(∠ABC+∠ACB)

=

∠A

内外飞镖

BP是∠ABC的角平分线,CP是∠ACB的外角平分线,则:

∠P=∠A

证明：

由外角定理得：

∠PCD=∠P+∠PBC,

∠ACD=∠A+∠ABC,

∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACD

∴∠PBC=∠A