必威体育精装版经典试题系列--高考题选编(解答题部分)---圆锥曲线的方程(二).doc

高考题选编---圆锥曲线的方程

三．解答题

1.〔07年重庆文21〕如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

〔Ⅰ〕求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

〔Ⅱ〕假设a为锐角，作线段AB垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a

解：〔Ⅰ〕设抛物线的标准方程为，那么，从而因此焦点的坐标为〔2，0〕.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。

〔Ⅱ〕如图〔21〕图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，那么由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，那么|FA|＝|AC|＝

解得，类似地有，解得。记直线m与AB的交点为E，那么

所以。故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，那么直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，那么，，故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故。

从而为定值。

2.〔浙江文21)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

〔Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

解：(I)设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得

所以,当且仅当时，．S取到最大值1．

〔Ⅱ〕由得,①

｜AB｜＝,②又因为O到AB的距离

,所以,③③代入②并整理，得,解得

，代入①式检验，△＞0,故直线AB的方程是或

或或．

3.〔天津文22〕设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，

原点到直线的距离为．

〔Ⅰ〕证明；

〔Ⅱ〕求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，那么．

证：〔Ⅰ〕由题设及，，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，，解得，从而得到，直线的方程

为，整理得．由题设，原点到直线的距离为，即

，将代入原式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作

，垂足为，易知，故,由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即．

〔Ⅱ〕圆上的任意点处的切线方程为．当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解．当时，由①式得

,代入②式，得，即，

，,

．

假设，那么．

所以，．由，得．在区间内此方程的解

为．当时，必有，同理求得在区间内的解为．另一方面，当时，可推出，从而．

综上所述，使得所述命题成立．

4.〔天津理22〕设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

〔Ⅰ〕证明；

〔Ⅱ〕设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

证：〔Ⅰ〕由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．解得，从而得到．直线的方程

为，整理得．由题设，原点到直线的距离为，

即，将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．过点作，垂足为，易

知，故．由椭圆定义得，又，

所以，解得，而，得，即．

〔Ⅱ〕设点的坐标为．当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组将①式代入②式，

得，整理得，于是，．由①式得

．由知．将③式和④式代入得，．将代入上式，整理

得．当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，．由知，

即，解得．这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．记〔显然〕，点的坐标满足方程组由①式得．③

由②式得．④将③式代入④式得．

整理得，于是．⑤

由①式得．⑥由②式得．⑦

将⑥式代入⑦式得，整理得，

于是．⑧由知．将⑤式和⑧式代入得，．将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．

5.〔四川文21〕(本小题总分值12分)求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.

〔Ⅰ〕假设r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；

〔Ⅱ〕设过定点M〔0，2〕的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角〔其中O为作标原点〕，求直线的斜率的取值范围.

解:〔Ⅰ〕易知，，．∴，．设．那么

，又，联立，解得，．

〔Ⅱ〕显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．

联立∴，

,由，，

得．①又为锐角，∴

又,∴

,∴．②综①②可知，∴的取值范围是．

6.〔四川理20〕设、分别是椭圆的左、右焦点.

〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

〔Ⅱ〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角〔其中为坐标原点〕，求直线的斜率的取值范围.

解：〔Ⅰ〕解法一：易知,所以，设，那么

,因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值,当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，那么

〔以下同解法一〕

〔Ⅱ〕显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：,∴

由得：或

又,∴

又

∵，即,∴,故由①、②得或