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高考题选编---圆锥曲线的方程
三.解答题
1.〔07年重庆文21〕如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
〔Ⅰ〕求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
〔Ⅱ〕假设a为锐角,作线段AB垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a
解:〔Ⅰ〕设抛物线的标准方程为,那么,从而因此焦点的坐标为〔2,0〕.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。
〔Ⅱ〕如图〔21〕图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,那么由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz,那么|FA|=|AC|=
解得,类似地有,解得。记直线m与AB的交点为E,那么
所以。故。
解法二:设,,直线AB的斜率为,那么直线方程为。将此式代入,得,故。记直线m与AB的交点为,那么,,故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故。
从而为定值。
2.〔浙江文21)如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
〔Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
解:(I)设点A的坐标为(,点B的坐标为,由,解得
所以,当且仅当时,.S取到最大值1.
〔Ⅱ〕由得,①
|AB|=,②又因为O到AB的距离
,所以,③③代入②并整理,得,解得
,代入①式检验,△>0,故直线AB的方程是或
或或.
3.〔天津文22〕设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,
原点到直线的距离为.
〔Ⅰ〕证明;
〔Ⅱ〕求使得下述命题成立:设圆上任意点处的切线交椭圆于,两点,那么.
证:〔Ⅰ〕由题设及,,不妨设点,其中,由于点在椭圆上,有,,解得,从而得到,直线的方程
为,整理得.由题设,原点到直线的距离为,即
,将代入原式并化简得,即.
证法二:同证法一,得到点的坐标为,过点作
,垂足为,易知,故,由椭圆定义得,又,所以,解得,而,得,即.
〔Ⅱ〕圆上的任意点处的切线方程为.当时,圆上的任意点都在椭圆内,故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和,因此点,的坐标是方程组的解.当时,由①式得
,代入②式,得,即,
,,
.
假设,那么.
所以,.由,得.在区间内此方程的解
为.当时,必有,同理求得在区间内的解为.另一方面,当时,可推出,从而.
综上所述,使得所述命题成立.
4.〔天津理22〕设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.
〔Ⅰ〕证明;
〔Ⅱ〕设为椭圆上的两个动点,,过原点作直线的垂线,垂足为,求点的轨迹方程.
证:〔Ⅰ〕由题设及,,不妨设点,其中.由于点在椭圆上,有,即.解得,从而得到.直线的方程
为,整理得.由题设,原点到直线的距离为,
即,将代入上式并化简得,即.
证法二:同证法一,得到点的坐标为.过点作,垂足为,易
知,故.由椭圆定义得,又,
所以,解得,而,得,即.
〔Ⅱ〕设点的坐标为.当时,由知,直线的斜率为,所以直线的方程为,或,其中,.
点的坐标满足方程组将①式代入②式,
得,整理得,于是,.由①式得
.由知.将③式和④式代入得,.将代入上式,整理
得.当时,直线的方程为,的坐标满足方程组所以,.由知,
即,解得.这时,点的坐标仍满足.
综上,点的轨迹方程为.
解法二:设点的坐标为,直线的方程为,由,垂足为,可知直线的方程为.记〔显然〕,点的坐标满足方程组由①式得.③
由②式得.④将③式代入④式得.
整理得,于是.⑤
由①式得.⑥由②式得.⑦
将⑥式代入⑦式得,整理得,
于是.⑧由知.将⑤式和⑧式代入得,.将代入上式,得.
所以,点的轨迹方程为.
5.〔四川文21〕(本小题总分值12分)求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
〔Ⅰ〕假设r是第一象限内该数轴上的一点,,求点P的作标;
〔Ⅱ〕设过定点M〔0,2〕的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且∠ADB为锐角〔其中O为作标原点〕,求直线的斜率的取值范围.
解:〔Ⅰ〕易知,,.∴,.设.那么
,又,联立,解得,.
〔Ⅱ〕显然不满足题设条件.可设的方程为,设,.
联立∴,
,由,,
得.①又为锐角,∴
又,∴
,∴.②综①②可知,∴的取值范围是.
6.〔四川理20〕设、分别是椭圆的左、右焦点.
〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
〔Ⅱ〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角〔其中为坐标原点〕,求直线的斜率的取值范围.
解:〔Ⅰ〕解法一:易知,所以,设,那么
,因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值,当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:易知,所以,设,那么
〔以下同解法一〕
〔Ⅱ〕显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:,∴
由得:或
又,∴
又
∵,即,∴,故由①、②得或
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