自动控制原理第2章习题解.docx

习 题 2

试证明图2-77(a)所示电气网络与图277(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。

证明：首先看题2-1图中(a)

U ?s??U ?s??U ?s?

??R R C

?

?

图2-77习题2-1图

I ?s?? 1U

?s??CsU

?s???1

Cs?U

?s?

R R R

R ?R ? R

?? ? 1 ???

U s??R? ?Is

?C ?

?

?? ?

2 Cs

2

1 ??1

?? ??

???

U s??R?Cs??R?Cs?U s?U s

21C ? 2 ?? 1? R C

2

1

?? 1 ??1

? ? ?? ?

1 ??1

? ??

???R?C

?

s??R

?Cs??1?U s??R?C

s??R

Cs?U s

?? 2

?? 1? ? C

2 ??

1? R

2121??RCs?1? ?1?RCs? ?

2

1

2

1

?? ?RCs?1?

?1?RCs? ??

? 2 2 ? 1 1 ?1?U s? 2 2 ?

1 1 U s

??Cs R C

?

?

2 1

Cs R R

2 1

试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。

图2-78 习题2-2图

解：

du?t? 1 ??

1 ??

??

?

?

1 ??

? du?t? 1

???

C r

u t

?? u t

u

t ???C o ? u t?

dt R r

R o R r

2 1

dt R o2

1 ?? ?

du?t?

???

?

?

u t ??RC c ?u t

?R r 2 c

?

? dt ?

1

某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，

2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。

解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x0=-1.2，0，

2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：

df 40???40? 80

1） ?

dx

x??1.2

0.75???1.5??

2.25

?35.56

df

2）

dx

x?0

?40?0

2?0

?20

3）df ?

35?20?15?6

dx

x?2.5

3?0.5 2.5

2-4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。

?

??

Ri?t??Ldit ?K

dt

??u

e r

?t? (1)

T ?K

em T

i (2)

将方程(3)整理后得：

T ?T

em L

?Ki?T

T L

d?

?J (3)

?

dt

1i? T

1

J d?

(4)

K L

T

?ut将方程(4)代入方程

?u

t

K dt

T

T? ?L?KR RJd? L

T

? ?

L

?K

LJd2?

? ?? (5)

K L K

T T

dt K

T

dt K

T

dt2 e r

将方程(5)整理后得：

LJd2? RJd?

? ??

R L dT

?K ?u t? T ?

L (6)

K dt2 K dt e r

T T

K L K dt

T

2-5 系统的微分方程组如下

式中，r，K-，K2，K。，Kn，Kj，T均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数C(s)／R(s)。

解：首先画系统结构图，根据动态方程有：

X

X(s)

1

X(s)

2

τs+K

X(s)

2

X(s)

3

X(s)

4

X(s)

5

C(s)

1

K

2

K/s

3

K/(Ts+1)

4

K

5

然后，根据梅逊公式得：

C?s?

??s?K?K K K

KKK??s?K?

sTs?12 3?4 ?

sTs?1

34???

3

4

1 2 s Ts?1

? ? ?

?? ? ? ?

Rs ??

? K K K KKK

sTs?1

KKK

s?K K Ts?1

KKK

1? s?K K 3 4 ? 3? ?3

4 5