桌椅设计模型.docx

2011西安交通大学数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 西安交通大学参赛队员(打印并签名)：1. 马健

刘小康

窦竟铭

日期： 2011 年3月28日

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一种给力的桌椅设计

一、问题重述（四号黑体）

问题背景

自习室的桌椅主要有两大用途：看书和睡觉。各个自习室桌椅的高度和水平距离通常都是固定的，使得对不同使用目的同学有不同的影响。通过分析人体的脊柱模型，设计出一种较适宜学习的桌椅。

目标任务

问题一：将脊柱模型抽象为弹力层与刚性金属段组合而成的模型，通过对该弹性模型的受力与形变分析，进一步推导出受力与不适度的关系。

问题二：通过受力与不适度的关系指导设计出对于符合概率分布的体型正常男性大学生睡觉不适度尽可能大、学习不适度尽可能小的桌椅。

问题三：通过优化求得满足睡觉不适度尽可能大和学习不适度尽可能小的两种情况下的桌椅设计最优解。

二、模型的假设

假设该脊柱可抽象为由金属刚体与弹力层构成；

假设金属刚体段的质量分布服从人体的质量分布，同时假设各脊柱长度之间的差异，即金属刚体长度之间的差异可忽略不计；

假设椎间盘的弹力与弹性系数和弧度有关；且椎间盘的质量可忽略不计，即弹力层的质量可忽略不计。4）假设桌椅模型中桌面与椅面均平行地面，椅背垂直地面，人在任何坐姿下均假设尾椎在椅面与椅背相交处。5）考虑到手臂的质量，但由于在学习及睡觉状态时手臂均在桌面上，假设桌面对手臂的支持力与其自身重力相平衡，所以不考虑它对身体的力的作用。

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三、符号说明

符号

符号

意义

单位

n

，

i

m

g

以第一节颈椎为起始标

号下的第n，i节脊椎每节刚体段（脊椎骨）的等效质量

重力加速度

kg

m/s2

k

椎间盘的弹性系数

?

n

??

y

第n节脊椎的轴线与竖

直方向的夹角

第n节脊椎与第n?1节脊椎的轴线夹角

以尾椎为原点的直角坐标系

第n节脊椎下表面受到的压力

第n节脊椎下表面受到的剪力

第n节脊椎的方向与竖直方向的夹角

椎间盘所受压力产生的不适度的系数

椎间盘所受剪力产生的不适度的系数

不适度指数

N?rad?1

rad

rad

n

x

m

、

F

N

ln

F

N

sn

?

rad

n

?

?

U

c

D

椅背距桌面水平距离

m

H

桌面距椅面的竖直距离

m

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四、模型建立与求解

问题一

对于问题一，由于每节脊椎骨抽象为一段圆柱形刚体而椎间盘抽象为底面直径相同的圆柱体弹性材料，所以不能将整段脊柱当做弹性杆模型，但可抽象为由金属刚体与弹力层构成，仅弹性层发生形变，又由于实际问题中椎间盘的厚度最大仅为17mm，因此仅考虑弹性层形变致使刚体段发生角度的变化，而忽略弹性层位移形变。

模型１：刚性金属段（脊椎骨）模型

由于脊椎骨处于平衡状态，且看做刚体段，因此可选取一节脊椎进行受力分析。

由几何关系可得(如图1)：

???? ??

n?1 n

第n节椎间盘上表面受到的压力，为前n节脊椎骨作用在其上的压力，表示如下（如图2）：

F ?nmgcos?

ln n

第n节椎间盘上表面受到的剪力，为前n节脊椎骨作用在其上的剪力，表示如下：

F ?nmgsin?

sn n

第n节椎间盘下表面受到的压力，为前n节脊椎骨作用在其上的压力，表示如下：

F ?nmgcos?

ln

n?1

第n节椎间盘下表面受到的剪力，为前n节脊椎骨作用在其上的剪力，表示如下：

F ?nmgsin?

sn

n?1

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图1

图1刚体段几何角度关系图

图2刚体段受力分析图

模型２：弹性层（椎间盘）形变模型

为求解出相联脊椎间? 的关系，即?

n

与?

n?1

的关系（如图3）。

椎间盘的弹力与弹性系数和弧度有关，所以

?? ?F/k (1)

取椎间盘的对称面，则作用在对称面上的剪力为

F?nmgsin(?

n n

??

? n)