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专题3-6圆的综合(27类题型)
TOC\o1-4\n\h\z\u圆的综合问题常用的规律方法
模块一圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
【题型2】遇到有直径时
【题型3】遇到有切线时
【题型4】遇到两相交切线时
【题型5】遇到三角形的内切圆时
【题型6】遇到三角形的外接圆时
模块二切线证明
类型1有公共点:连半径,证垂直
【题型7】特殊角计算证垂直
【题型8】勾股定理逆定理证垂直
【题型9】通过平行线代换证垂直
【题型10】利用等角代换法证明垂直
【题型11】利用三角形全等证明垂直
类型2无公共点:作垂直,证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
【题型13】特殊角计算证垂直
模块三圆中求线段长度
【题型14】结合勾股定理求线段长
【题型15】结合三角函数求线段长
【题型16】结合相似求线段长
【题型17】利用旋转变换求线段长
模块四以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法(割补)
【题型19】拼接法(等积变形)
模块五其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
【题型21】圆内接四边形
【题型22】圆与相似综合1:等积式相关证明
【题型23】圆与相似综合2:线段积问题
【题型24】圆中线段间的数量关系(和差倍分)
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
【题型26】求圆周角的三角函数值
【题型27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法:
技法01:第一问常考考点——切线,对应规律
①切线的判定:常用方法
有切点,连半径,证垂直!
无切点,作垂直,证半径!
☆特别地:题目中所需证的垂直,一般是由已知垂直转化而来的,故有“想证⊥,先找⊥”
②切线的性质:常用方法→见切点,连半径,得垂直!
因切线所得结论必为⊥,故常以直角三角形来展开后续问题
技法02:考题常见结合考点
①知2得1:
②三角形相似:
③三角函数:相似三角形与三角函数不分家,所以应用方法类似;
特殊之处是:给三角函数,必“找”Rt△
④特殊角及其转化:
技法03:常见辅助线
①连半径——有关切线时,连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△,进而用知2得3
——或做两条弦心距,构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°,进而在Rt△中展开问题
技法04:圆中等积式证明(三角形相似)
圆中的等积式证明主要有下面几种形式:
(1)
(2)
(3)
(4)(证a为定值)
其中第(1)(2)的形式属最简单的形式,只需要将线段乘积写成比例的形式()然后找到对应的两个三角形相似即可,稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线段情况;
第(3)种形式和第(2)种类似,建议先写成线段比例的形式,然后再考虑数字的归属问题,将系数分配给某一线段;
第(4)种情况难度最大,题目中只给两条线段,另外两条需要自己找,建议写成的形式,括号内的一般填入的是题中可求值的线段,再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法05:求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有2种形式:①割补法,②等级变形(拼接)
模块一圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
处理方式:常添加弦心距
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图1.唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物,轮乃曲成”.如图2,已知圆心O在水面上方,且⊙O被水面截得弦AB长为8米,若点C为运行轨道的最低点,点C到弦AB所在直线的距离是2,则⊙O的半径长为米.
【答案】5
【分析】本题考查垂径定理的应用,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.连接OC交AB于点E.利用垂径定理得AE=4,再利用勾股定理即可求出半径.
【详解】解:连接OC交AB于点E.设OA=OC=r,
由题意OC⊥AB,
∴AE=BE=1
∵CE=2,
∴OE=r?2,
在Rt△AEO中,r2
∴r=5米,
故答案为:5.
如图,⊙O的半径为102,弦AB的长为162,P是弦AB上一动点,则线段OP长的最小值为(
??
A.10 B.82 C.5 D.
【答案】D
【分析】过O点作OH⊥AB于H,连接OB,如图,根据垂径定理得到AH=BH=8,再利用勾股定理计算出OH,然后根据垂线段最短求解
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