中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归（解析版）.doc

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】

专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归

TOC\o1-3\n\h\z\u知识点梳理

模块一胡不归模型

【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线

【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线

【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算

模块二阿氏圆模型

【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）

【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）

【题型6】一内一外提系数

【题型7】隐圆型阿氏圆

知识点梳理

一、胡不归模型讲解

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使SKIPIF10的值最小．

SKIPIF10，记SKIPIF10，即求BC＋kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．

将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．

二、阿氏圆模型讲解

【模型来源】

所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．

【模型建立】

如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R＝SKIPIF10OB，

连接PA、PB，则当“PA＋SKIPIF10PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC＝SKIPIF10R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有SKIPIF10PB＝PC。故本题求“PA＋SKIPIF10PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。

模块一胡不归模型

【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线

2023·西安·二模

如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．

【答案】

【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．

【详解】解：过作，

菱形，，

，，即为等边三角形，，

在中，，

，

当、、三点共线时，取得最小值，

，，

，

在中，，

则的最小值为．

故答案为：．

2023·保定·一模

如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

??

（1）°；

（2）的最小值为．

【答案】2

【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；

（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．

【详解】解：（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

故答案为：．

（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

??

在中，

由（1）知：，

∴，

∴，

在矩形中，

，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴的最小值为2

2023·湘西·中考真题

如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

??

【答案】6

【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．

【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

??

∵是等边三角形，

∴

∵是等边三角形的外接圆，其半径为4

∴，，

∴

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴的最小值为的长度

∵是等边三角形，，

∴

∴的最小值为6

如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为．

【答案】

【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间