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数学物理方法习题解答

一、复变函数局部习题解答

第一章习题解答

1、证明Rez在z平面上处处不可导。

证明：令Rezuiv。Rezx，ux,v0。

于是与在平面上处处不满足C－R条件，

uvz

所以Rez在z平面上处处不可导。

2、试证fzz2仅在原点有导数。

证明：令。2

fzuiv2222。

fzzxyuxy,v0

所以除原点以外，u,v不满足C－R条件。而u,uv,v在原



xyxy

点连续，且满足C－R条件，所以在原点可微。

fz

或：z2。

f0limlimz*limxiy0

z0zz0x0

y0

【当0,i，z*ei2与趋向有关，那么上式中z*z*1】

zzre

zzz

3333

xyi(xy)

3、设z0，证明在原点满足C－R条件，但

f(z)x2y2fz

0z=0



不可微。

证明：令，那么

fzux,yivx,y

f(z)在原点上满足C－R条件。

3333

但limf(z)f(0)limxyi(xy)。

z0zz0(x2y2)(xiy)

令y沿ykx趋于0，那么

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依赖于k，f(z)在原点不可导。

4、假设复变函数在区域上解析并满足以下条件之一，证明其在区域