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专题15二次函数的图像与性质【十大题型】
TOC\o1-3\h\u
【题型1根据二次函数解析式判断其性质】 3
【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 4
【题型3二次函数平移变换问题】 5
【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 6
【题型5根据二次函数的性质求最值】 6
【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】 7
【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 7
【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 8
【题型9二次函数图象与各项系数符号】 8
【题型10二次函数与三角形相结合的应用方法】 11
【知识点二次函数的图像与性质】
1.定义:一般的,形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量,a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式:y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h,k);
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
其中x1,x2是图象与x轴交点的横坐标.
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与SKIPIF10轴有交点,即SKIPIF10时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大。
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
SKIPIF10
顶点
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
SKIPIF10
a0时,顶点是最低点,此时y有最小值;a0时,顶点是最高点,此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或SKIPIF10)。
增
减
性
a0
x0(h或SKIPIF10)时,y随x的增大而减小;x0(h或SKIPIF10)时,y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边,y随x的增大而减小;在对称轴的右边,y随x的增大而增大。
a0
x0(h或SKIPIF10)时,y随x的增大而增大;x0(h或SKIPIF10)时,y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边,y随x的增大而增大;在对称轴的右边,y随x的增大而减小。
3.二次函数的平移:
方法一:在原有函数的基础上“SKIPIF10值正右移,负左移;SKIPIF10值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
任意抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2经过平移得到,具体平移方法如下:
方法二:
⑴SKIPIF10沿SKIPIF10轴平移:向上(下)平移SKIPIF10个单位,SKIPIF10变成
SKIPIF10(或SKIPIF10)
⑵SKIPIF10沿x轴平移:向左(右)平移SKIPIF10个单位,SKIPIF10变成SKIPIF10(或SKIPIF10)
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,SKIPIF10的大小决定开口的大小.
2.b的符号的判定:对称轴SKIPIF10在SKIPIF10轴左边则SKIPIF10,在SKIPIF10轴的右侧则SKIPIF10,概括的说就是“左同右异”
3.c决定了抛物线与SKIPIF10轴交点的位置
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
a
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